Comprobación de integrales en su forma básica. ∫du/(u^2-a^2 ).
Partiendo de la integral, como podemos llegar al siguiente resultado.
$$\begin{align}&∫du/(u^2-a^2 )=1/2aIn|(u-a)/(u+a)|+C\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Soto30!
Es una integral racional, se resuelve descomponiéndola en fracciones simples.
$$\begin{align}&\int \frac{du}{u^2-a^2}=\int \frac{du}{(u+a)(u-a)}=\\&\\&\text{La teoría dice que eso se puede poner como}\\&\\&\int\left( \frac{B}{u+a}+\frac{C}{u-a}\right)du=\\&\\&\text{para calcular B y C hacemos esto}\\&\\& \frac{B}{u+a}+\frac{C}{u-a}=\frac{B(u-a)+C(u+a)}{(u+a)(u-a)}=\\&\\&\frac{(B+C)u +(C-B)a}{u^2-a^2}=\frac{1}{u^2-a^2}\\&\\&\text{los numeradores deben ser polinomios iguales, luego}\\&B+C=0\implies B=-C\\&(C-B)a=1\implies(C-(-C))a=1\implies \\&\qquad \qquad2Ca=1\implies C=\frac{1}{2a}\implies B=-\frac 1{2a}\\&\\&\text{Luego la integral queda}\\&\\&\int \frac{du}{u^2-a^2}=\int \left(\frac{-\frac 1{2a}}{u+a}+\frac{\frac 1{2a}}{u-a}\right)du=\\&\\&\frac 1{2a}\int\left(\frac{-1}{u+a} +\frac 1{u-a} \right)du=\\&\\&\frac{1}{2a}(-ln|u+a|+ln|u-a|)+C=\\&\\&\frac 1{2a}ln\left |\frac{u-a}{u+a} \right |+C\end{align}$$
