$$\begin{align}& \end{align}$$
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¡Hola Javier!
He consultado en internet y salvo esta misma pregunta que contesté yo mismo hace 4 años no he encontrado nada. Y la respuesta que di yo era bastante complicada e incluso n me fio, por eso la voy a hecer de nuevo con un método más rápido.
He consultado en la Wikipedia y dice que el radio externo de un icosaedro es:
Entonces yo he trazado una circunferencia con ese radio y le he colocado adecuadamente un triángulo equilátero de lado uno, ese será uno de los lados del icosaedro. Luego viene la lima truncadora y lo trunca por las esquinas convirtiéndolo en un hexágono de lado 1/3, entonces trazo la circunferencia que para por la arista truncada. Esa será la circunferencia que tocará con esos dos puntos y es una circunferencia máxima dentro del la esfera que envuelve el icosaedro truncado. Ya solo falta calcular el radio de esa esfera y la relación entre 1/3 de la nueva arista y ese radio nos dara el multiplicador para obtener la arista a partir del radio.
Las cuentas son las siguientes:
$$\begin{align}&r_u=\frac{\sqrt{10+2 \sqrt 5}}{4}\\&\\&\text{Para que CD mida 1}\\&\\&C=\left(\frac 12,\sqrt {\frac{10+2 \sqrt 5}{16}-\frac 14}\right)=\left(\frac 12,\frac{\sqrt{6+2 \sqrt 5}}{4} \right)\\&\\&Luego \quad E=\left(\frac 16,\frac{\sqrt{6+2 \sqrt 5}}{4} \right)\\&\text{Y el radio exterior del icosaedro truncado es}\\&\\&r_t=\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{6+2 \sqrt 5}{16}}=\frac{\sqrt{232+72 \sqrt 5}}{24}=\\&\\&\frac{\sqrt{58+18 \sqrt 5}}{12}\approx 0.8260062197\\&\\&\text{Luego el multiplicador del radio para obtener la arista es}\\&\\&m_r=\frac 13\div \frac{\sqrt{58+18 \sqrt 5}}{12}=\frac{4}{\sqrt{58+18 \sqrt 5}} \\&\\&\text{racionalizarlo es perder tiempo para dejarlo peor}\\&m_r\approx 0.4035482123\\&\text{Pongo también el multiplicador del diámetro}\\&m_d\approx0.2017741062\\&\\&\text{Y finalmente}\\&\text{Para d=50cm}\implies a=0.2017741062·50=10.08870531\\&\text{Para d=25cm}\implies a=0.2017741062·25=5.044352654\end{align}$$
Todo esto que he hecho puede que esté mal, la otra vez que lo hice me dio que el multiplicador del radio era
mr = 0.3398893
Lo cual da aristas más pequeñas. Aquí tienes como lo hice pero es mucho mas farragoso y desordenado.
Medidas lados hexágonos y pentágonos icosaedro truncad
Si es que cuando en internet no se encuentra la respuesta a esto será que no es fácil calcularlo. Quien tenga un balón que compruebe si alguna de las dos repuestas que he dado es verídica. Y quien se anime a hacer cálculos aquí tiene un buen problema para resolver.
Saludos.
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Buenas. No es por tocar las narices, jej pero hay un pequeño fallo de planteamiento en el problema. En la práctica estos montajes (el que se planteó originalmente en 2011) se hacen sobre esferas. De modo que en la relación a=f(r), r debe de ser el radio de la esfera inscrita y no la que pasa por los vértices. Si R es el radio de esta última r=0,9794*R por lo que la fórmula quedaría a=0,41202266*r - Carlos Suárez
El problema está bien resuelto Carlos Suarez. Si crees que está mal, escribe una respuesta con tu desarrollo, no siembres la duda con un argumento que no se entiende. El r que dice la wikipedia es el de la esfera que pasa por los vértices. Y coincide la respuesta con uno que hice hace años sin tomar ese r como punto de partida. - Valero Angel Serrano Mercadal
Perdón caballero, he confundido la pregunta original con otra similar donde se pegaban polígonos sobre una esfera, donde la esfera que pasa por los vértices es mayor. En este caso se pintan sobre la esfera por lo que su resultado es correcto. Para el otro caso lo único que he hecho es buscar la relación entre ambos radios y modificar su fórmula. Dicho esto, el que haya cometido un error no es razón para que desprecie mi comentario. Que yo sepa nadie le ha faltado aquí al respeto para que reaccione de esa manera. - Carlos Suárez