Resolver el siguiente ejercicio de estadística descriptiva unidad 2
Mediante el empleo de los diagramas de Venn-Euler da una interpretación intuitiva de las siguientes dos relaciones:
a)P (A ∪B) = P(A) + P (B) – P(A ∩ B).
b)Si A y B son mutuamente excluyentes, P(A U B) = P(A) + P(B)
Analiza la situación para el caso de tres eventos A, B y C, apoyándote, si lo crees necesario, en los diagramas de Venn-Euler y desarrolla una expresión que permita determinar P(A U B U C) en función de P(A), P(B), P(C), P(A U B), P(A U C), P(B U C) y P(A ∩ B ∩ C).
Explica qué ocurre si A, B y C son mutuamente excluyentes.
1 Respuesta
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¡Hola Antonio!
Asociaremos el concepto de probabilidad con el del área de los conjuntos.
Estos son los diagramas
En el de arriba si sumamos el área de A y B habremos sumado dos veces el area de la intersección, pero solo se debe sumar una vez por eso en la formula se resta.
P (A∪B) = P(A) + P (B) – P(A∩B).
En el segundo son sucesos mutuamente excluyentes, no tienen área común, por eso el área es la suma de las dos áreas sin tener que restar nada después.
P(C U D) = P(C) + P(D)
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Y este es el de tres conjuntos
Vemos que al sumar P(A)+P(B)+P(C) se han sumado dos veces las áreas P(A∩B - A∩B∩C), P(A∩C - A∩B∩C) y P(B∩C - A∩B∩C) y se ha sumado tres veces P(A∩B∩C). Al restar P(A∩B), P(A∩C ) y P(B∩C) restamos una vez P(A∩B - A∩B∩C), P(A∩C - A∩B∩C) y P(B∩C - A∩B∩C) con lo cual eso queda bien, pero restamos tres veces P(A∩B∩C) con lo cual se quitan las tres que se habían sumado antes, y como debe sumarse una vez lo tendremos que sumar al final. Con ello la fórmula es:
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A∩B) - P(A∩C ) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)
Si sin mutuamente excluyentes la fórmula es sencilla
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Saludos.
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