Integral por teorema fundamental del calculol

Teorema Fundamental del cálculo:

$$\begin{align}&F(x)= \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)dt=f(\beta (x))·\beta '(x)-f(\alpha (x))·\alpha'(x)\\&\\&F(x)=\int_3^{\sqrt x} \frac{sent}{t}dt=\frac{sen \sqrt x}{\sqrt x}·\frac{1}{2 \sqrt x}\\&\\&\end{align}$$

$$\begin{align}& \end{align}$$

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¡Hola Manzanitta!

Este es el teorema fundamental del cálculo:

Dada una función f  integrable sobre el intervalo , definimos F sobre por . Si f es continua en , entonces F  es derivable en y F'(c) = f(c).

$$\begin{align}&\int_3^{\sqrt x}\frac{sent}{t}dt=\\&\\&\text{hacemos un cambio de variable con cambio}\\&\text{simultáneo de los límites de integración}\\&u=t^2\implies t=\sqrt u\\&dt=\frac{1}{2 \sqrt u}du\\&Si\;t=3\implies u=t^2=9\\&Si\;t=\sqrt x\implies u =x\\&\\&=\int_9^x  \frac{sen \sqrt u}{\sqrt u}·\frac{1}{2 \sqrt u}du=\\&\\&=\int_9^x  \frac{sen \sqrt u}{2u}du=\\&\\&\text{Y ahora que ya es x el límite superior es cuando}\\&\text{se puede aplicar el teorema fundamental}\\&\\&F'(c)=f(c)\\&\\&\text{Pero lo dejaremos todo en función de x que  es }\\&\text{la variable que se usa el 99.99% de las veces}\\&\\&F'(x)=\frac{sen \sqrt x}{2x}\end{align}$$