Realiza la siguiente demostración de subgrupos

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¡Hola Amo Mo!

Usaremos el teorema de caracterización de subgrupos.

Primero vemos que CG(g) es distinto del vació ya que el elemento neutro pertenece al centralizador

g·1 = 1·g = g

Ahora tomaremos 2 elementos del centralizador de g y veremos que uno por el inverso del otro pertenecen al centralizador.

$$\begin{align}&Sean \;h,k\in C_G(g)\\&\\&gh=hg\\&gk=kg \implies k^{-1}gk=k^{-1}kg\implies k^{-1}gk=g\implies \\&\qquad k^{-1}gkk^{-1}=gk^{-1}\implies k^{-1}g=gk^{-1}\\&\\&Luego\; k^{-1} \in C_G(g)\\&\text{pero no era eso lo que había que demostrar}\\&\text{hay que probar que }hk^{-1}\in C_G(g)\\&\\&g(hk^{-1})=(gh)k^{-1}\\&\text{Por ser h del centrilizador de g}\\&=(hg)k^{-1}= h(gk^{-1})\\&\text{Por ser  }k^{-1}\text{ del centralizador de g}\\&=h(k^{-1}g)=(hk^{-1})g\\&\\&\text{Luego resumiendo}\\&g(hk^{-1}) = (hk^{-1})g\\&\\&\text{por lo cual } hk^{-1} \in C_G(g)\\&\\&\text{y se cumple el teorema de caracterización y}\\&\\&C_G(g) \text{ es subgrupo de }G\end{align}$$

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