Problemas con valores iníciales utilizando la Transformada de Laplace

$$\begin{align}& \end{align}$$

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¡Hola Anónimo!

En ecuaciones diferenciales bajo ningún concepto hacemos más de un ejercicio por pregunta. Si quieres el otro manda una pregunta nueva después.

$$\begin{align}&\text{Transformamos la ecuación}\\&\\&\mathscr L \{y'-2y\}=\mathscr L \{2\}\\&\\&\mathscr L \{y'\}-2·\mathscr L\{y\}=\mathscr L \{2\}\\&\\&s·Y(s) -y(0)-2·Y(s) =\frac 2s\\&\\&s·Y(s) -0-2·Y(s) =\frac 2s\\&\\&s·Y(s) -2·Y(s) =\frac 2s\\&\\&(s-2)·Y(s)=\frac 2s\\&\\&Y(s) = \frac{2}{s(s-2)}\\&\\&\text{Lo descomponemos en fraciones simples}\\&\\&\frac{2}{s(s-2)}=\frac {a}{s}+\frac{b}{s-2}=\frac{as-2a+bs}{s(s-2)}\\&\\&\text{luego}\\&\\&a+b=0\\&-2a=2\implies a=-1\implies b=1\\&\\&Y(s)=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-2}\\&\\&\text{Y ahora se calcula la inversa de la transformada,}\\&\text{de  memoria o con las tablas si no te acuerdas, como yo.}\\&\\&y=-1+ e^{2t}\\&\\&\text{Vamos a verificar si está bien}\\&\\&y'-2y=2e^{2t}-2(-1+e^{2t})=2\\&\\&\text{Está bien}\end{align}$$

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