Tengo una dificultad para realizar este problema de estimación en estadística
5. Para comparar la estatura media de los habitantes de dos regiones de Colombia se toman dos muestras aleatorias de tamaños 150 y 250. Los resultados obtenidos fueron:
Supuesta la distribución de la altura como una normal, se pide calcular al nivel de confianza del 98%:
a. Intervalo de confianza de la media poblacional de la región 1.
b. Intervalo de confianza de la media poblacional de la región 2.
c. Intervalo de confianza de la diferencia de medias poblacionales.
1 Respuesta
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El intervalo de confianza para la media cuando no se conoce la desviación poblacional pero sí la muestral es:
$$\begin{align}&I=\overline X\pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt n}\end{align}$$Vamos a calcular ese z sub alfa/2
alfa = 1 - nivel de confianza = 1 - 0.98 = 0.02
alfa/2 = 0.02/2 = 0.01
Z_0.01 es el valor que deja 0.01 de probabalidad a su derecha, o lo que es lo mismo, 0.99 a su izquierda. Lo buscamos en la tabla.
Tenemos
Tabla(2.32) = 0.9898
Tabla(2.33) = 0.9901
Por interpolación líneal le corresponde el valor
z_0.01 = 2.32666...
Y esto nos va a dar estos intervalos.
$$\begin{align}&a) \\&\\&I=1.73\mp 2.326667·\frac{0.10}{\sqrt {150}}=\\&\\&1.73 \mp0.019\\&\\&I=[1.711, \;1.749]\\&\\&\\&\\&b)\\&\\&I= 1.70 \mp2.326667·\frac{0.12}{\sqrt{250}}=\\&\\&1.70\mp 0.017658\\&\\&I = [1.682342, \; 1.717658]\\&\\&\\&\\&\text{c) El intervalo de confianza para la diferencia}\\&\text{de medias con varianza desconocia y tamaños}\\&\text{muestrales grandes }(n_1+n_2\gt 30) \;es\\&\\&I = \overline X_1-\overline X_2\mp z_{\alpha/2} \sqrt{\frac {s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}=\\&\\&1.73-1.70\mp2.326667 \sqrt{\frac{0.10^2}{150}+\frac{0.12^2}{250}}=\\&\\&0.03 \mp 0.0259\\&\\&I = [0.0041, \;0.0559]\\&\end{align}$$Y eso es todo.
