Mestro el tema es de variable compleja
$$\begin{align}&(1+\sqrt{3}i)^{-10}=2^{-11}(-1+\sqrt{3}i)\end{align}$$Expresar los factores de la izquierda en forma exponencial, efectuar las operaciones requeridas y cambiar finalmente a coordenadas rectangulares para probar que:
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$$\begin{align}&(1+\sqrt{3}i)^{-10}=2^{-11}(-1+\sqrt{3}i)\\&\\&\text{Hacemos lo que nos dicen, recuerdo que si z}\\&\text{tiene módulo r y ángulo }\theta\text{ su forma exponencial es}\\&\\&z=re^{i\theta}\\&\\&\text{El módulo del lado izquierdo es}\\&r= \sqrt{1+3}=2\\&\\&\text{el ángulo es}\\&arctg \frac{\sqrt 3}{1}= arctg \sqrt 3=\frac{\pi}{3}\\&\\&\text{ya que }tg \frac{\pi}{3}= \frac{sen 60º}{\cos 60º}= \frac{\frac{\sqrt 3}2}{\frac 12}=\sqrt 3\\&\\&\text{luego el lada izuierdo es}\\&\\&\left(2e^{i· \frac{\pi}{3}} \right)^{-10}= 2^{-10}·e^{-\frac{10}{3}\pi i}=\\&\\&\text{Y lo pasamos a forma trigonométrica}\\&\\&2^{-10}\left(\cos \left(-\frac{10\pi}{3}\right)+i·sen \left(-\frac{10\pi}{3}\right) \right)=\\&\\&\text{Sumemos }4\pi=\frac{12\pi}{3} \text{ al ángulo que queda el mismo}\\&\\&2^{-10}\left(\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right)+i·sen \left(\frac{2\pi}{3}\right) \right)=\\&\\&\text{para enterarmos, eso son 120º}\\&\\&2^{-10}\left(-\frac 12 +i·\frac{\sqrt 3}{2} \right)=2^{-11}(-1+\sqrt 3 \;i)\\&\\&\end{align}$$Luego es verdad lo que nos piden.
¿Maestro la ultima parte no quedo muy clara que operaciones hizo?
Como sabes cada 2Pi radianes se da la vuelta completa a la circunferencia y tenemos el mismo ángulo. Entonces he sumado 4pi = 12pi/3 al ángulo para que quede un ángulo comprendido entre 0 y 2Pi que son los que nos enteramos.
Y el ángulo ha quedado -10Pi/3 + 12pi/3 = 2Pi/3
Pero en radianes tampoco nos aclaramos bien, lo que entendemos bien son los ángulos en grados, sabemos que
2Pi rad = 360º
Pi rad = 180º
Pi/3 rad = 60º
2Pi/3 rad = 120º
Y si visualizamos el ángulo de 120º vemos que su coseno es -1/2 y su seno la famosa raíz de 3 medios.
Y eso es todo.
