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Esta pregunta me parece que ya me la han hecho otras veces. Por eso creo que no la formulas bien. La que me han hecho es discutir la continuidad de la función parte entera de x que se suele escribir f(x) = [x]. Mientra que tú con las barras me estás pidiendo la continuidad de la función valor absoluto de x. La cual no tiene dificultad tan apenas.
Por eso te pide que me confirmes si es la función parte entera o valor absoluto. Yo, por lo que he visto me inclino por la parte entera.
si es parte entera
Si x no es un número entero la función es continua ya que es constante en los intervalos
[n, n+1) con n=[x] € Z
O sea, en [0,1) la función vale 0, en [1,2) vale 1, etc
Pero si x € Z no es continua ya que el límite por la izquierda es x-1 y por la derecha es x. Como no coinciden los límites no hay límite y entonces la función no es continua.
Si hay que hacerlo con definición de límite lo haremos así:
Cuando x no es entero dado cualquier épsilon tomamos delta = min(x -[x], x+1-[x]) y en todo el intervalo de radio delta la función tiene valor constante y el límite es esa constante, luego la función es continua.
Cuando x es entero te doy épsilon = 1/4. entonces en todo intervalo de radio delta tendrás
por la izquierda valores [x]-1 y por la derecha valores [x] y es imposible hallar un valor que esté a distancia menor que 1/4 de todos ellos para que pueda servirnos de límite.
Si |[x] -1 | < 1/4
-1/4 < [x] -1 < 1/4
3/4 < [x] < 5/4
con lo cual no puede ser |[x]| < 1/4
Luego no hay límite y la función es discontinua en los números enteros.
Y eso es todo.
