Duda para resolver la siguiente función dada y calcular f´ y f"

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$$\begin{align}&f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{\frac{sen h}{h}-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{senh - h}{h^2}=\\&\\&\text{Hay que usar Taylor o 'Hôpital}\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{cosh-1}{2h} =\\&\\&\text{Sigue dando 0/0, le damos otro l'Hôpital}\\&\\&=\lim_{h\to 0}\frac{-senh}{2}= \frac 02=0\end{align}$$

Calculemos ahora la derivada segunda.

$$\begin{align}&f(x) = \frac{sen x}{x}\\&\\&f'(x)= \frac{x·cosx -senx}{x^2}  \quad si\; x\neq 0, \quad 0 \;si\; x=0\\&\\&f''(x)=\frac{(cosx-xsenx-cosx)x^2-2x(x·cosx-senx)}{x^4}=\\&\\&\frac{(2-x^2)senx-2x \cos x}{x^3}\quad {Si\; x\neq 0}\\&\\&\text{Si x=0 es}\\&\\&f''(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f'(h)-f'(0)}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{\frac{h·cosh -senh}{h^2}-0 }{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h·cosh-senh}{h^3}=\\&\\&\text{aplicaremos l'Hôpital dos veces creo}\\&\\&=\lim_{h\to 0}\frac{cosh-hsenh-cosh}{3h^2}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{-senh}{3h}= \lim_{h\to 0} \frac{-cosh}{3}=-\frac 13\\&\\&\text{luego }f''(0)=-\frac 13\\&\end{align}$$

Y eso es todo.