Las puntuaciones en un examen son 0, 1, 2...10 puntos.

En la primer pregunta te están pidiendo

$$\begin{align}&P(5,5 \le X \le 6,5)\\&\mbox{Como sabemos que es una distribución normal N(6,7; 1,2), entonces vamos a tipificarla}\\&Z = \frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-6,7}{1,2}\\&Luego\\&P(\frac{5,5-6,7}{1,2} \le \frac{X-6,7}{1,2} \le \frac{6,5-6,7}{1,2})=P(-1 \le Z \le \frac{-1}{6})=\\&P(Z \le \frac{-1}{6})- P(-1 \le Z)=\bigg(1-P(Z \le \frac{1}{6})\bigg)- \bigg(1-P(Z \le 1)\bigg)=\\&1-P(Z \le \frac{1}{6})-1+P(Z \le 1)=P(Z \le 1)-P(Z \le \frac{1}{6})=\\&\mbox{Esos valores los sacas de tablas de la distribución N(0 ; 1)}\\&0,8413-0,5662=0,2752\\&\mbox{Lo hice pasando todas las probabilidades a valores positivos, porque no todas las tablas traen los valores negativos (depende tu talba, o si lo hacías directo con el Excel te podías quedar con los valores negativos y ahorrar unos cuantos pasos}\end{align}$$

La segunda pregunta dicho de otra forma te están preguntando hasta que valor, se acumula el 10% de las notas. O sea

Lo que te piden en los otros puntos son para que valor, tenés una probabilidad acumulada de 10% y de 90%. (No lo hago más con el editor, porque me "borra" lo que escribí antes)

Buscando en tablas tenemos que

P(Z <= K) = 0,1 

K = -1,2816

Como tienes que

Z = (X - mu) / sigma = (X - 6,7) / 1,2

-1,2816 = (X - 6,7) / 1,2

X = -1,2816 * 1,2 + 6,7

X = 5,1621 (por supuesto que este valor deberías llevarlos a las calificaciones "posibles" de un curso -dudo mucho que un profesor corrija con 4 decimales de precisión en su nota)

De manera análoga

P(Z <= K) = 0,9

K = 1,2816

Como tienes que

Z = (X - mu) / sigma = (X - 6,7) / 1,2

1,2816 = (X - 6,7) / 1,2

X = 1,2816 * 1,2 + 6,7

X = 8,2379 (mismo comentario que antes respecto a la cantidad de decimales, si me preguntas a mí, las notas podrían ser 5,2 y 8,2; pero tu sabrás que es lo mejor).

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Anabel!

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$$\begin{align}&P(5.5\le X\le 6.5)=P(X\le6.5)-P(X\le 5.5)=\\&\\&\text{tipificamos a una N(0,1) restando la media 6.7 y}\\&\text{dividiendo por la desviación 1.2}\\&\\&P\left(Z\le \frac{6.5-6.7}{1.2}  \right)-P\left(Z\le \frac{5.5-6.7}{1.2}  \right)=\\&\\&P(Z\le-0.1666...) - P(Z\le-1)=\\&\\&\text{por simetría de la N(0,1)}\\&\\&1-P(Z\le0.1666...)-(1-P(Z\le1))=\\&\\&P(Z\le1)-P(Z\le 0.1666...)=\end{align}$$

Y como sobre calcular esto, depende de como lo hagáis.  Se puede hacer con tablas a la antigua a ojo de buen cubero, a la antigua con interpolación o a la moderna con cualquier software.

A la antigua a ojo o se tiene un ojo matématico o no está bien, a la moderna con programas no tiene dificultad, lo haré a la antigua con interpolación.

La P(1) sale en la tabla 0.8413

Tabla(0.16) = 0.5636

Tabla(0.17) = 0.5675

Las diezmilésimas de diferencia son 39, para llegar a

0.1666666... hay que tomar la probablidad de 0.16 y sumarle 0.666666... veces (=2/3) la diferencia

Esta vez ha habido suerte se puede calcular mentalmente

(39/3)·2 = 13·2=26

Luego sumaremos 26 diezmilésimas y tomaremos

P(Z <= 0.166666) = 0.5636+0.0026 = 0.5662

Y las cuenta finales son

P(5.5 <= X <= 6.5) = 0.8413 - 0.5662 = 0.2751

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El 10% mas bajo en una normal esta limitado por el valor cuya probabilidad es 0.1. Como esa probabilidad no sale calcularemos el valor cuya probabilidad es 1-0.1=0.9 y luego le cambiaremos el signo.

Si buscas en la tabla verás

Tabla(1.28) = 0.8997

Tabla(1.29) = 0.9015

Hay una diferencia de 18 diezmilésimas de las que se necesitan 3 para llegar 0.9000, es decir la sexta parte. Por lo que se deduce que el valor cuya probabilidad es 0.9 es

Z = 1.28+ (1/6)·0.01 = 1.281666...

y el valor cuya probabilidad es 0.1 es

Z=-1.281666...

Y ahora tenemos  hacer la operación inversa de la tipificación

(X-media)/ desviación = Z

X = Z·desviación + media

X = -1.281666 · 1.2 + 6.7 = -1.538 + 6.7 = 5.162

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El valor que marca el 10% más alto es el que tiene probabilidad 0.9.

Ya lo hemos calculado antes es

Z = 1.28166666

Y aplicando la formula ya deducida antes también será

X = 1.281666 · 1.2 + 6.7 = 1.538 + 6.7 = 8.238

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