Ejercicio de derivadas de funciones transcendentes

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Ha hecho media docena de veces o más este ejercicio y nunca ponen todas las condiciones que hacen falta. Hay que añadir estas condiciones

$$\begin{align}&x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,  \quad k \in \mathbb Z\\&\\&y\neq \frac{\pi}2+k\pi, \quad k \in Z\end{align}$$

ya que si no, no tendremos tangente de x o de y, y no se podrá calcular la fórmula.

Hay que partir de unas identidades trigonométricas previas.

$$\begin{align}&sen(x+y)=sen\,x\,\cos y+ \cos x\, sen\,y\\&\\&\cos(x+y) = \cos x \cos y -sen\,x\,sen\,y\\&\\&tg(x+y)= \frac{sen\,x\,\cos y+ \cos x\, sen\,y}{\cos x \cos y -sen\,x\,sen\,y}=\\&\\&\text{Ahora dividiremos por }\cos x ·\cos y\\&\text{porque }\cos x ·\cos y\neq 0\\&\text{por las condiciones añadidas por mí}\\&\\&=\frac{\frac{sen\,x\,\cos y}{\cos x \cos y}+ \frac{\cos x\, sen\,y}{\cos x \cos y}}{\frac{\cos x \cos y}{\cos x \cos y} -\frac{sen\,x\,sen\,y}{\cos x \cos y}}=\frac{tgx+tgy}{1-tgx·tgy}\\&\\&\text{Esto no  serviría si }\;tgx·tgy=1 \\&\text{pero eso no puede darse porque:}\\&tgx·tgy=1\implies \frac{senx}{cosx}·\frac{seny}{cosy}=1\implies\\&a)\;senx=\pm cosx\quad y\quad sen y=\pm cosy\implies\\&x,y=\left\{\frac\pi 4,\frac{3\pi}{4},\frac {5\pi}4,\frac{7\pi}{4}\right\}+2k_1\pi\implies\\&x+y=\left\{ \frac \pi2,\frac{2\pi}{2},\frac{6\pi}{2},\frac {8\pi}2,\frac{10\pi}{2},\frac{12\pi}{2},\frac{14\pi}{2} \right\}+4(k_1+k_2)\frac{\pi}{2}\implies\\&x+y=\frac{k\pi}{2}\\&\\&b)\;senx=\pm cosy  \implies x+y= \frac{\pi}2+k_1\pi=\frac{(1+2k_1)\pi}{2} =\frac{k\pi}{2}\\&\\&\text{Y estos casos estaban descontados en el enunciado}\end{align}$$