Un problema de subgrupos y elementos
Sea H un subrupo de un grupo finito G. Suponga que g pertenece a G y n es el entero positivo más pequeño tal que
$$\begin{align}&g^n ∈ H\end{align}$$Pruebe que que n divide el orden de G.
1 respuesta
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Sea m el mínimo entero positivo tal que g^m=e
Como 0 pertenece a H se tiene n<=m
Aplicando el algoritmo de la division
m = kn + r con 0 <= r < n <= m
e=g^m=g^(kn+r)=g^(kn)·g^r=(g^n)^k·g^r =e
el símbolo del euro € será pertenece
como g^n € H ==> (g^n)^k € H
como (g^n)^k·g^r = e ==> g^r es el inverso de (g^n)^k
y como (g^n)^k € H también debe pertenecer a H el inverso, luego
g^r €H
entonces habríamos encontrado un r<n tal que g^r€ H
Pero r no puede ser un entero positivo ya que entonces habría contradicción, luego debe ser r=0.
Entonces m=kn con k>=1 por ser n<=m
g^m =g^(kn) = (g^k)^n = e
Entonces el grupo
H_2 = {e, g^k, (g^k)^2, ..., (g^k)^(n-1)} es un subgrupo cíciclico de G de orden n, luego por el teorema de Lagrange se tiene que n divide al orden de G.
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Y eso es todo.
¡Gracias! wow jamas se me hubiera ocurrido! gracias de nuevo.
Si que fue un poco complicado, a lo mejor según la teoría que hayáis dado se podría hacer más fácilmente.
