¿Cómo demostrar la biyectividad entre dos conjuntos?
Si tenemos que hay biyectividad de A a B. Entonces como podría demostrarlo de B a A. Esto es el tema de mapeos en Teoría de Grupos.
1 Respuesta
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No entiendo tu pregunta.
La relación A es biyectivo con B es una relación de equivalencia, cumple las propiedades reflexiva, simetrica y transitiva.
En concreto por ser simétrica se tiene que si A es biyectivo con B se cumple que B es biyectivo con A.
Si has demostrado que son biyectivos porque has encontrado una aplicación biyectiva entre ellos, toma la aplicación inversa y tendrás que B es biyectivo con A. es decir si tienes
f : A ---------->B
x ---------->f(x)
Tomas
f^(-1): B -------> A
y --------> x tal que f(x)=y
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Y eso es todo a no ser que quisieras decir otra cosa.
Bueno en realidad yo quiero demostrar la simetría. Demostrar que si hay una biyeccion de A a B, entonces también hay de B a A.
La aplicación inversa que he definido es biyectiva.
Es suprayectiva porque todo x de A tiene una imagen, entonces las imágenes por f(-1) de los elementos de B son todo A
Y es inyectiva porque si
f^(-1)(x1) = f(-1)(x2) ==>
y € A tal que f(y)=x1 es igual al z € A tal que f(z)=x2
luego f(y)=f(z) ==> x1 = x2
Y por lo tanto f^(-1) es inyectiva.
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Y eso es todo.
