¿Cual es el resultado de la siguiente integral?

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Es siempre preferible mandar un solo ejercicio en cada pregunta. Se permite más de uno solo cuando sean muy, muy sencillos.

Haré el primero, si quieres el segundo mándalo en otra pregunta. Es el producto de una función como lnx que al derivarla dará un denominador polinómico por otra función fácil de integrar y cuyo integral será un numerador polinómico. Se ve que es ideal para integrar por partes con esta fórmula

$$\begin{align}&\int u\,dv=uv-\int u\,dv\\&\\&\int x^2\,lnx\;dx=\\&\\&u = ln\,x\qquad\quad  du=\frac {dx}x\\&dv=x^2dx\quad \quad v=\frac{x^3}{3}\\&\\&=\frac{x^3\,ln\,x}{3}-\frac 13\int \frac{x^3}{x}dx =\\&\\&\frac{x^3\,ln\,x}{3}-\frac 13\int x^2dx =\\&\\&\frac{x^3\,ln\,x}{3}-\frac {x^3}{9}+C=\\&\\&\frac {x^3}3\bigg(lnx-\frac 13\bigg)+C\end{align}$$

Y eso es todo.