Encuentre el orden del grupo cociente dado. A)Z_6/〈3〉 b)(Z_4 xZ_2/〈(2,1)〉 c)(Z_2 xZ_4/〈(1,1)〉

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Si G es un grupo finito y N un subgrupo el orden de G/N es

|G/N| = |G|/|N|

Debemos por tanto calcular el orden de los grupos y subgrupos

a)

|Z_6/<3>| = |Z_6| / |<3>| =

el orden de Z_6 es 6, es el grupo {0,1,2,3,4,5}

El orden de <3> es 2, sus elementos son {0,3}

luego el orden es

= 6/2 = 3

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b)

|Z_4 xZ_2 / 〈(2,1)〉| = |Z_4xZ_2| / |<(2,1)>|=

Z_4xZ_2 es un producto cartesiano de un grupo de 4 elementos con otro de 2, su orden es 4·2 = 8

los elementos de <(2,1)> son

<(2,1)> = {(0,0), (2,1)}

son dos elementos.  Luego el orden del grupo cociente es

= 8/2 = 4

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c)

|Z_2xZ_4 / 〈(1,1)〉| = |Z_2xZ_4| / |〈(1,1)〉|=

el grupo Z_2xZ_4 es un producto cartesiano, su oreden es 2·4=8

El grupo generado por (1,1) es el dado por las sumas reiteradas de (1,1) hasta 4 sumas en donde se llega al elemento neutro.

<(1,1)> = {(1,1), (0,2), (1,3), (0,0)}

luego tiene 4 elementos.  Y el orden del conjunto cociente es

=8/4 = 2

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Y eso es todo.