Como resolver relación de recurrencia
Hola ¡
Me Dicen :
La estabilidad de cierto sistema queda determinado por el análisis del algoritmo que tiene como respuesta a la función recursiva de entrada :
f(n+4) - f(n+3) -f(n+2) + 4f(n+1)-12f(n) = (3^n).6
Halle la solución general de la ecuación homogénea más la solución particular
1 Respuesta
$$\begin{align}&x=\frac{1\pm \sqrt{1-12}}{2}= \frac{1\pm \sqrt{11}}{2}\end{align}$$¡Hola These!
·
¡Que poca verguenza poner semejante ecuación! Vamos a ver si se pueden calcular las raíces del polinomio característico sin morir en el intento.
El polinomio característico es
x^4 - x^3 - x^2 + 4x - 12 =0
La solución x=2 se ve a la primera, la -2 la veré después de aplciar Ruffini una vez pero la anticipo ya para hacer Ruffini en cadena
1 -1 -1 4 -12 2 2 2 2 12 ---------------------- 1 1 1 6 | 0 -2 -2 2 -6 ---------------- 1 -1 3 |0
Y ya no se puede seguir por Ruffini, el polinomio que queda tiene raíces complejas
¡Uff! Esto va fatal, ya veré si dentro de unas horas se puede trabajar, el ordenador, internet, la página o lo que sea no tira.
Ok vale, espero por que a mi también me da dolor de cabeza ese problema
Estas son las raíces del polinomio que queda
$$\begin{align}&x=\frac{1\pm \sqrt{1-12}}{2}= \frac{1\pm \sqrt{-11}}{2}\\&\\&\text{El módulo es } \sqrt{\frac 14+\frac {11}4}=\sqrt 3\\&\text{El ángulo es }\theta=arctg \sqrt {11}\\&\\&\text{Junto con 2 y -2 calculadas antes hacen que la solución general de la homogénea sea}\\&\\&y_h(n)=C_12^n+C_2(-2)^n+ (\sqrt 3)^n\left[C_3·\cos(n·arctg\; \sqrt{11})+C_4·sen(n·arctg\;\sqrt{11}) \right]\end{align}$$Tendrás que revisar todo lo que he hecho, la verdad que nunca había hecho uno con raíces complejas, no sé si estará bien.
Lo de la particular si que tendrá que esperar unas horas, que tengo que dejar ahora el ordenador.
ok vale entiendo , si espero
Y la ecuación completa es
f(n+4) - f(n+3) -f(n+2) + 4f(n+1)-12f(n) = (3^n).6
Se prueba con una que tenga la misma función exponencial que la parte derecha y un polinomio de mismo grado, es decir, probaremos con una función del tipo
f(n) = k·3^n
la sustituimos en la parte izquierda
k·3^(n+4) - k·3^(n+3) - k·3^(n+2)+4k·3^(n+1)-12k·3^n=6·3^n
dividimos todo por 3^n
k·3^4 - k·3^3 - k·3^2+4k·3-12k=6
81k - 27k -9k +12k - 12k = 6
45k =6
k = 6/45 = 2/15
Luego la solución particular de la ecuación completa es
yp(n) = (2/15)·3^n
·
Sumando esta particular a la general de la homogénea que calculamos antes tendremos la solución general de la completa
$$\begin{align}&y(n)=C_12^n+C_2(-2)^n+ (\sqrt 3)^n\left[C_3·\cos(n·arctg\; \sqrt{11})+C_4·sen(n·arctg\;\sqrt{11}) \right]+\frac 2{15}3^n\end{align}$$Y eso es todo.
