Variable compleja sobre forma binomica

exprese en la forma a+bi

1.-e^2+i                 2.-sen(1+i)

3.-e^3-i                  4.-cos(2+3i)

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Un exponente compuesto debe ir entre paréntesis, es obligatorio. Supongo que quieres decir:

1)  e^(2+i)

2)  sen(1+i)

3) e^(3-i)

4) cos(2+3i)

No uses la forma

2.-sen(1+i)

más de una vez pondré el signo menos si lo haces.

$$\begin{align}&\text{Por definición}\\&\\&e^{a+bi}=e^a(\cos b+i·sen\; b)\\&\\&\text{luego}\\&\\&1)\quad e^{2+i}= e^2·\cos 1+i·e^2·sen \;1\\&\\&\text{no creo que te pidan escribir los}\\&\text{horribles números decimales}\\&\text{que resultarían de las operaciones}\\&\\&2)\quad e^{3+i}=e^3·\cos(-1)+i·e^3·sen(-1)=\\&\\&\text{el coseno de ángulos opuestos es igual y el seno es opuesto}\\&\\&=e^3·\cos 1-i·e^3·sen \,1\end{align}$$

No olvides si necesitas calcular el valor que esos águlos van en radianes.

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Para los ejercicios 2 y 4 hay que usar estas fórmulas trigonométricas

$$\begin{align}&\cos(a+b) = cosa·cosb-sena·senb\\&sen(a+b) = sena·cosb + cosa·senb\\&\\&2) \\&sen(1+i)= sen 1· \cos i + \cos 1· sen\, i\\&\\&\text{Y ahora hay que saber lo que valen }\cos i\; y\; sen\,i\\&\\&e^{-1}= e^{i·i}=\cos i + isen \,i\\&\\&e^{1}= e^{-i·i}= \cos(-i)+isen(-i)=\\&\\&\cos\,i-isen \,i\\&\\&\text{sumando tenemos}\\&e^1+e^{-1}=2 \cos i \implies \cos i=\frac{e+e^{-1}}{2}= cosh \,1\\&\\&\text{Y restando}\\&\\&e^1-e^{-1}=-2·i·sen\,i\implies \\&\\&seni=-\frac{e-e^{-1}}{2i}=i·\frac{e-e^{-1}}{2}=i·senh\; 1\\&\\&\text{luego}\\&\\&sen(1+i)= sen 1· cosh\, 1 +i  ·\cos 1· senh\, 1\\&\\&\\&4) \quad \cos(2+3i)=\cos 2·\cos 3i- sen\, 2·sen 3i=\\&\\&\text{razonando como antes se deduce}\\&\\&\cos 3i = cosh\, 3\\&sen \,3i = i·senh \,3\\&\\&= \cos 2· cosh\, 3-i·sen 2·senh 3\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Si en la teoría tienes demostrado lo que yo he demostrado no será necesario que sea tan larga la reesolución.

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