Anónimo
¿Se cumple la siguiente proposición o no?
$$\begin{align}&Hola\ quisiera \ saber \ si\ se\ cumple \ lo \ siguiente:\\&\int_0 ^{inf}f(x)dx\ \ existe \ si\ y \ sólo\ si\ \int_{-inf}^{inf}f(x)dx\end{align}$$La hipótesis es que f(x) es simétrica con respecto al eje y. Tengo que demostrar si es verdadero o dar un contraejemplo si es falso. Saludos.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Depende de como deba de ser rigurosa la demostración.
Suponemos que esa integral de f(x) existe y f(x) es simétrica
$$\begin{align}&\int_0^{\infty}f(x)dx= \\&\\&\text{hago el cambio}\\&\\&t=-x\\&dt=-dx\\&x=0\implies t=0\\&x=\infty\implies t=-\infty\\&\\&=\int_0^{-\infty}f(-t)(-dt) =\\&\\&-\int_0^{-\infty}f(-t)dt=\\&\\&\text{como f es simétrica } f(-t)=f(t)\\&\\&=-\int_0^{-\infty}f(t)dt\\&\\&\text{el signo - lo quitamos invirtiendo los límites}\\&\text{y vamos a cambarle el nombre a t por x}\\&\\&=\int_{-\infty}^0f(x)dx\\&\\&\text{resumiendo}\\&\\&\int_0^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx\\&\\&\text{Y la única conclusión que se puede extraer es}\\&\\&\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{\infty}f(x)dx=2\int_0^{\infty}f(x)dx\end{align}$$En el enunciado que diste estaba cortado, si querías decir que existe si la otr existe es verdad la una se calcula de la otra o vicecersa multiplicando o dividiendo entre 2.
Si ponía otra cosa ya me lo dirás.
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Y eso es todo.