Calcular el residuo de división

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Usamos la propiedad.

$$\begin{align}&a\equiv b\quad(mod \;m)\implies\\&\\&a^k \equiv b^k\quad(mod\;m)  \quad \forall k \in \mathbb Z\\&\\&\\&128=11·11+7  \quad \text{luego}\\&\\&128\equiv7\quad(mod\;11)\\&\\&\text{Buscamos el primer resto 1 ó -1 de }7^i\\&\\&7^2=49 \equiv5 \quad(mod\; 11)\\&7^3\equiv5·7\equiv2\quad(mod \;11)\\&7^4\equiv2·7\equiv3 \quad(mod\;11)\\&7^5\equiv3·7\equiv10\equiv -1\quad(mod\;11)\\&7^{10}\equiv(-1)·(-1)=1\quad(mod\; 11)\\&\\&\text{luego}\\& 7^{i}\equiv 7^{10n+i}\quad(mod\; 11)\\&\\&\text {ahora tenemos que buscar el resto }\\&\text{del exponente módulo 10}\\&\\&14^{13}\equiv4^{13}\quad(mod\; 10)\\&\\&4^1\equiv 4\quad (mod\;10)\\&4^2\equiv6\quad(mod\;10)\\&4^3\equiv4·6\equiv 4\quad(mod 10)\\&\\&\text{nada más que se repite un residuo ya }\\&\text{comienza un ciclo nuevo}\\&\text{En potencias impares el resto es 4 y en pares 6}\\&\\&14^{13}\equiv4^{13}\equiv 4 \quad (mod\;10)\\&\\&Resumiendo\\&\\&128^{14^{13}}\equiv 7^{14^{13}}\quad(mod \;11)\\&\\&7^{14^{13}}=7^{10n+4}\equiv7^4\equiv 3 \quad(mod\;11)\end{align}$$

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Y eso es todo.