Duda de Grupo finito y existencia de...
Sea G un grupo finito. Muestre que existe un entero positivo fijo n tal que a^n=e para todo a en G.
Gracias de antemano la ayuda!
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Sea a € G, debe existir un m tal que
a^m=e
ya que no existiera tomemos la sucesión
{a, a^2, a^3, ..., a^k}
con k mayor que el orden de G, entonces deberá haber elementos repetidos
a^i = a^j con i<j
si operamos con el inverso de a i veces en los dos lados tendremos
e = a^(j-i) con m=j-i >0
Luego todo elemento de G tiene su número m tal que a^m = e
Si tomamos un número n que sea múltiplo de todos los m tendremos
a^n = a^(m·k) = (a^m)^k = e^k = e
Este n puede ser cualquier múltiplo común de todos los m, pero tiene especial interés el mínimo común múltiplo.
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Y eso es todo.
