Como se realiza esta demostración estadística
Sean A y B dos eventos cualesquiera tales que P(A|B) = P(B|A), P(AUB) = 1 y P(A|B) > 0.
Demostrar que P(A) > 1/2.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Las fórmula de la probabilidad condicionada dice:
$$\begin{align}&P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\&\\&P(B|A) =\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\\&\\&\text{como son iguales}\\&\\&\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\\&\\&\text{y como }A\cap B = B\cap A\\&\\&\frac{1}{P(B)}=\frac{1}{P(A)}\\&\\&P(A)=P(B)\\&\\&\text{sabemos que }\\&\\&P(AUB) =P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\\&\\&2P(A)-P(A\cap B)=1 \implies\\&\\&2P(A) =1 + P(A\cap B)\\&\\&\text{Como } P(A|B)\gt0\implies \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\gt 0\implies\\&\\&P(A\cap B) \gt 0\\&\\&\text{Luego }\\&\\&2P(A)=1+P(A\cap B) \gt1+0=1\\&\\&2P(A) \gt 1\\&\\&P(A) \gt \frac 12\\&\end{align}$$Y eso es todo.
