Como saber a que distancia de la carretera esta el incendio?

Leidy Munera!

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Sea d la distancia

Sea c el cateto horizontal del triángulo de 50º

El cateto horizontal del triángulo de 38º medirá 1-c

La definición de tangente es cateto opuesto entre cateto adyacente, luego tendremos

$$\begin{align}&tg\,50º = \frac dc\implies c=\frac{d}{tg\,50º}\\&\\&tg\,38º=\frac{d}{1-c}  \implies\\&\\&(1-c)tg\,38º=d\\&\\&tg38º -c·tg\,38º=d\\&\\&tg \,38º-d·\frac{tg\,38º}{tg\,50º}=d\\&\\&tg\,38º = d\left(1+\frac{tg\,38º}{tg\,50º}  \right)\\&\\&d=\frac{tg\,38º}{\frac{tg\,50º+tg\,38º}{tg\, 50º}}=\frac{tg\,38º·tg\,50º}{tg\,50º+tg\,38º}\approx\\&\\&0.4719115278\; km\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

No se si hay una forma más simple, pero vamos escribiendo lo que sabemos a ver que sale...

Primero voy a definir al triángulo ABC como

A. Vértice de la izquierda (cuyo ángulo es 50°)

B. Vértice de la derecha (cuyo ángulo es 38°)

C. Vértice inferior (no dice de cuanto es el ángulo

D. Punto en la carretera perpendicular al vértice C (donde se "apoya" la línea punteada)

$$\begin{align}&angulo \ C = 180° - A - B = 180° - 50° - 38° = 92°\\&Quedan\ 2\ triangulos\ rectangulos:\ ADC\ y\ DBC\\&Por\ el \ teorema\ del \ seno:\\&{AC \over sen38} ={BC \over sen50} ={AB \over sen92}\\&De\\&{BC \over sen50} ={AB \over sen92}\\&BC= {AB*sen50 \over sen92}={1*0,766 \over 0,999}=0,7665\\&Ahora\ sabemos \ que\ en\ un\ triangulo\ rectangulo\ vale:\\&sen \alpha = {OPUESTO \over HIPOTENUSA}\\&Sen 38°={DC \over BC} \\&Por\ lo\ tanto\:\\&DC = sen38°*BC=0,61566*0,7665=0,4719\\&\end{align}$$

y esa es la distancia buscada (en Km, pues el segmento AB estaba en esa unidad).