Demostrar paso a paso el siguiente enunciado:

Esta pregunta de geometría, me la puso mi profesor de geometría y dijomque entraría en el examen, peromla he intentado hacer varias veces y nada, espero me puedan ayudar y explicar como es que ese enunciado es cierto.

http://www.subirimagenes.com/imagen-screenshots201504011-9353555.html

2 respuestas

Respuesta
2

Para demostrar esto he utilizado:

El Teorema del coseno y

La Fórmula Trigonométrica del Área de un Triángulo (calcula el área en función de dos lados cualesquiera y el ángulo comprendido)

Supongo las conoces, sino son fáciles de encontrar la demostración en la web.

El triángulo que muestras es rectángulo e isósceles (tiene dos ángulos de 45º)

Los lados iguales, miden l

y las cevianas miden m y n

Aplicando el Teorema del coseno en los triángulos CDF (para x)

ADC (para m) y CFB para n tenemos:

$$\begin{align}&\Delta CDF\\&x^2=m^2+n^2-2mn·cos45\\&x^2=m^2+n^2-2mn·\frac{\sqrt 2}{2}\\&x^2=m^2+n^2- mn \sqrt 2\\&\\&\Delta ADC:\\&m^2=a^2+l^2-al \sqrt 2\\&\\&\Delta CFB:\\&n^2=b^2+l^2-bl \sqrt 2\\&\\&Sustituyendo \ las \ dos \ últimas \ en \ la \ primera:\\&x^2=a^2+l^2-al \sqrt 2+b^2+l^2-bl \sqrt 2-mn \sqrt 2\\&x^2=(a^2+b^2)+(2l^2-al \sqrt 2 - bl \sqrt 2 - mn \sqrt 2)\\&Como \ queremos \ demostrar \ que \  x^2=a^2+b^2\\&hay  \ que \ demostrar \ que \ el \ segundo \ paréntesis \ es \ cero.\\&\\&Estratégia \ del \ Area:\\&[ABC] \ quiere \ decir \ Area \ del \ triángulo \ ABC\\&[ABC]=\frac{1}{2}l·l=\frac{1}{2}l^2  \ (es  \ un \ triángulo \ rectángulo)\\&[ADC]+[CDF]+[FCB]=\\&\frac{1}{2}al·sen45+\frac{1}{2}mnsen45+\frac{1}{2}bl·sen45=\\&\frac{1}{2}·\frac{\sqrt 2}{2}(al+mn+bl)\\&\\&\\&Igualando \las \ Areas:\\&\frac{1}{2}·\frac{\sqrt 2}{2}(al+mn+bl)=\frac{1}{2}l^2\\&\\&\Rightarrow\\&\sqrt 2 (al+mn+bl)=2l^2\\&Luego \ el \ segundo \ paréntesis \ es \ cero\\&cumpliéndose\\&x^2=a^2+b^2\\&\end{align}$$

Espero que te sirva

Recuerda Votar.

Votar Excelente es lo correcto y más en un problemita como este.

Un placer.

Gracias! Solo una pequeña duda por que el sehundomparentesis en la parte final vale 0 ?

De igualar el área del triángulo ABC con la suma de las áreas de los tres triángulos

Interiores hemos llegado a la igualdad:

$$\begin{align}&2l^2=\sqrt 2 (al+mn+bl)\\&luego \ al \ pasarlo \ todo \ al \ primer \ miembro:\\&2l^2-\sqrt 2 al-\sqrt 2mn- \sqrt 2bl=0\\&c.q.d.(como \ queríamos\ demostrar)\end{align}$$

Espero que te sirva y lo hayas entendido.

Este método es más sencillo de cálculo y la estrategia del área es bastante ingeniosa y soluciona muchos problemas.

El otro método también es genial, utiliza el Teorema del seno y has de tener seguridad

Manejando expresiones trigonométricas.

Respuesta
1

·

¿Pero seguro que deben ser esos los ángulos? Si los ángulos son de 45º tendremos que el triángulo derecho no existirá, con lo cual b=0.

Y x=a porque son dos triángulos iguales por tener los mismos ángulos y un lado común.

y de x=a tenemos

x^2 = a^2

y como b=0

x^2 = a^2 + b^2

Y eso es todo, me parece muy sencillo si esos ángulos son de 45º, creo que el enunciado debería ser distinto para que fuera un problema más interesante. Ya me dirás si lo interpreté mal.

Hola! muchas gracias solo tengo una duda, 7 ¿porque el lo triangulo derecho no existe?

Yo había supuesto que el ángulo de abajo del primer triángulo era recto, es que en el dibujo es completamente recto. Hagámoslo con las únicas premisas de los ángulos y de la igualdad de los dos lados.

Aprovecharé el mismo dibujo de Lucas al que añadiré un angulo alfa arriba al triángulo izquierdo. Por lo que el arriba a la derecha será (45-alfa), el del triángulo central a la izquierda será (45+alfa) y el del triángulo central a la derecha será (90-alfa)

Aplicando el teorema del seno a todo bicho viviente tendremos:

$$\begin{align}&\frac{a}{sen \alpha}=\frac{m}{sen45º}\\&\\&\frac{b}{sen(45º-\alpha)}=\frac{n}{sen 45º}\\&\\&\frac{x}{sen 45º}=\frac{n}{sen(45º+\alpha)}=\frac{m}{sen(90º-\alpha)}\\&\\&\text{Y ahora a calcular}\\&\\&a^2=\frac{m^2sen^2\alpha}{sen^2 45º}=\frac{\frac{x^2sen^2(90-\alpha)}{sen^245º}·sen^2\alpha}{sen^245º}=\\&\\&\frac{x^2cos^2\alpha·sen^2\alpha}{sen^445º}\\&\\&b^2=\frac{n^2sen^2(45º-\alpha)}{sen^245º}=\frac{\frac{x^2sen^2(45º+\alpha)}{sen^245º}·sen^2(45-\alpha)}{sen^2 45º}=\\&\\&\frac{x^2\left(\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\alpha+sen\alpha)  \right)^2 \left(\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\alpha-sen\alpha)  \right)^2}{\cos^445º}=\\&\\&\frac{x^2(1+2cos\alpha·sen\alpha)(1-2cos\alpha·sen\alpha)}{4cos^4 45º}=\\&\\&\frac{x^2(1-4cos^2\alpha·sen^2\alpha)}{4sen^445º}\\&\\&\\&a^2+b^2=\frac{x^2cos^2\alpha·sen^2\alpha}{sen^445º}+\frac{x^2(1-4cos^2\alpha·sen^2\alpha)}{4sen^445º}=\\&\\&\frac{4x^2cos^2\alpha·sen^2\alpha+x^2-4x^2cos^2\alpha·sen^2\alpha}{4·\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^4}=\\&\\&\\&\frac{x^2}{4·\frac{4}{16}}=x^2\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Así tienes dos formas de demostrarlo, en esta hya que calcular mucho pero no la veo yo tan rebuscada como la otra.

Había interpretado mal el problema, fue Lucas el que me hizo comprenderlo y he elaborado una demostración distinta. Debes puntuar la respuesta de Lucas con Excelente.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas