Como hallar la solución de estas dos ecuaciones en el intervalo (0,2 pi)

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Hay que aplicar las fórmulas del ángulo doble

$$\begin{align}&\cos x+ \cos 4x=0\\&\\&\cos x + \cos^22x-sen^22x=0\\&\\&cosx + (\cos^2x -sen^2x)^2-(2senx·cosx)^2=0\\&\\&cosx + \cos^4x-2sen^2x·\cos^2x+sen^4x-4sen^2x·\cos^2x=0\\&\\&cosx+\cos^4x+sen^4x-6sen^2x·\cos^2x=0\\&\\&cosx +\cos^4x+(1-\cos^2x)^2-6(1-\cos^2x)\cos^2x=0\\&\\&cosx+\cos^4x +1 -2cos^2x+\cos^4x-6cos^2x+6cos^4x=0\\&\\&8cos^4x-8cos^2x+cosx+1=0\end{align}$$

Por aquí no llegamos a nada.  Vamos a usar otra identidad más complicada, la del paso de suma a producto

$$\begin{align}&cosa+cosb =2cos\left(\frac{a+b}{2}  \right)\cos\left(\frac{a-b}2  \right)\\&\\&cosx+cos4x=2cos\left(\frac{x+4x}{2}  \right)\cos\left(\frac{x-4x}2  \right)=\\&\\&2cos\left(\frac{5x}{2}  \right)\cos\left(\frac{-3x}2  \right)=0\\&\\&\text{Con}\quad \cos\left(\frac{5x}{2}  \right)=0\quad\text{tendremos}\\&\\&\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}\;y\;\frac{3\pi}{2}\\&\\&x=\frac{\pi}{5}\;y\;\frac{3\pi}{5}\\&\\&\\&\text{Con}\quad \cos\left(\frac{-3x}{2}  \right)=0\quad\text{tendremos}\\&\\&\frac{-3x}{2}=\frac{\pi}{2}\;y\;\frac{3\pi}{2}\\&\\&x=-\frac{\pi}{3}\;y\;-\pi= 2\pi-\frac \pi3\;y\;2\pi-\pi=\frac{5\pi}{3}\;y\;\pi\\&\\&\text{luego las soluciones son}\\&\\&\frac{\pi}{5},\;\frac{3\pi}{5},\;\frac{5\pi}{3}\;y\;\pi\\&\\&\\&\end{align}$$

Y el segundo también se resuelve por otra identidad de paso de suma/resta a producto

$$\begin{align}&sena-senb=2cos\left(\frac{a+b}{2}  \right)sen\left(\frac{a-b}{2}  \right)\\&\\&sen\, 3x-sen \,2x=2cos\left(\frac{3x+2x}{2}  \right)sen\left(\frac{3x-2x}{2}  \right)=\\&\\&2cos\left(\frac{5x}{2}  \right)sen\left(\frac{x}{2}  \right)=0\\&\\&\text{Con }\quad \cos\left(\frac{5x}{2}  \right)=0 \quad \text{tendremos}\\&\\&\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2} \;y\;\frac{3\pi}{2}\\&\\&x=\frac{\pi}{5}\;y\;\frac{3\pi}{5}\\&\\&\\&\text{Con }\quad sen\left(\frac{x}{2}  \right)=0\quad\text{tendremos}\\&\\&\frac x2=0 \;y\;\pi\\&\\&x=0\;y\;\frac \pi2\\&\\&\text{Luego todas las respuestas son:}\\&\\&0,\;\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{5}\;y\;\frac{3\pi}{5}\\&\\&\end{align}$$

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Las identidades de paso de suma a producto las tendrás en la teoría, sino aquí las tienes:

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas#Paso_de_suma_a_producto

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Y eso es todo.