Encontrar la derivada 4567 del arco tangente
Quiero encontrar la derivada 4567 del arco tangente en z=0, pero no encuentro cómo, y por ahí encontré que sale usando la representación en series de potencias sale. Tengo la serie:
$$\begin{align}&arctan(z)=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k\frac{z^{2k-1}}{2k-1}\end{align}$$Pero no sé cómo usarlo. En unos apuntes encontré que si A es una función analítica en una región, entoces ocurre
$$\begin{align}&A^{(k)}(0)=k!a_k\end{align}$$, donde a_k es el coeficiente k-ésimo de la serie de potencias (creo), entonces supongo que en este caso
$$\begin{align}&a_k=(-1)^k\frac{z^{2k-1}}{2k-1}\end{align}$$, pero es esto correcto?
Y además cómo es la serie del tangente?
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
Los términos de la serie de McLaurin son
$$\begin{align}&f(x) = f(0)+f'(0)·x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+....+ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\&\\&\text{Luego si tu tienes la serie}\\&\\&f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n\\&\\&\text{se cumple la igualdad}\\&\\&\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=a_n\\&\\&\text{luego}\\&\\&f^{(n)}(0) = a_n·n!\\&\\&\text{por tanto si es verdad que la serie del arcotangente es}\\&\\&arctan(z)=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k\frac{z^{2k-1}}{2k-1}\\&\\&tendremos\\&\\&(arctan \,0)^{(2k-1)}= (-1)^k\frac{k!}{2k-1}\\&\\&4567= 2·2284-1\\&\\&(arctan\,0)^{(4567)}=(-1)^{2284}·\frac{2284!}{4567}=\frac{2284!}{4567}\end{align}$$Esos exponentes entre paréntesis significan derivada de tal orden. El resultado por lo que se ve es un número brutal que no se si podrás calcular, déjalo así o usa la fórmula de Stirling para saber su valor aproximado.
·
Y eso es todo.
