3.-Derivadas de funciones implícitas, “y” depende de “x”.
Hola, si pudieran ayudarme a contestar este problema se requiere calcular la derivada de funcion implicita en la siguiente ecuacion, suponiendo que y es dependiente de x
c) ln(x/y)+sen^2 (x+y^2)=2x^2 y
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Se deriva toda la expresión respecto de x y considerando "y" como función de x, poniendo y' allá donde haya que derivarla, y después de eso se despeja y'.
$$\begin{align}&ln\left(\frac xy \right)+sen^2(x+y^2)=2x^2y\\&\\&\frac{1}{\frac xy}·\frac{y-xy'}{y^2}+2sen(x+y^2)\cos(x+y^2)(1+2yy')=2(2xy+x^2y')\\&\\&\text{en el primer término correré mucho para no llevar retraso con los otros}\\&\\&\frac 1x -\frac {y'}{y}+2sen(x+y^2)\cos(x+y^2)+4y\,sen(x+y^2)\cos(x+y^2)y'=4xy+2x^2y'\\&\\&\text{todo lo que tiene y' a la izquierda con factor común y' y lo demás a la derecha}\\&\\&\left(-\frac 1y+4y\,sen(x+y^2)\cos(x+y^2)-2x^2\right)y'=4xy-2sen(x+y^2)\cos(x+y^2)-\frac 1x\\&\\&y' = \frac{4xy-2sen(x+y^2)\cos(x+y^2)-\frac 1x}{-\frac 1y+4y\,sen(x+y^2)\cos(x+y^2)-2x^2}\\&\\&\end{align}$$E intentar simplificar estas expresiones suele ser una pérdida de tiempo.
Y eso es todo.
