En una raíz, ¿Puede el indice ser un polinomio o un monomio?

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Si claro, tú puedes poner cualquier expresión como índice, no solo un número constante. Como estamos hablando del ídice de una raíz se supone que el valor de esa expresión debe ser un número natural.

$$\begin{align}&\sqrt[n+1]{33} \quad \text  Siendo\;n \in \mathbb N \cup\{0\}\\&\\&\sqrt[n^2-3]{2}\quad \text Siendo\; n=2,3,4,...\end{align}$$

Lo que pasa es que no es lo habitual hacerlo así, cuando se quieren poner expresiones se usa el lenguaje exponencial.  Y además este permite que sea cualquier numero, no simplemente natural, de forma que puede ser una expresión con valor natural, entero, racional o irracional.

$$\begin{align}&\sqrt[m-2]3= 3^{\frac{1}{m-2}}\\&\\&\sqrt[m]{3^n}=3^{\frac nm}\\&\\&\text{y como te decía lo que quieras}\\&\\&e^{\frac{2x^2}{1-\cos^2x}}\end{align}$$

Lo que pasa es que los exponentes están diseñados para tener un número o algo de una línea, cuando se meten cosas grandes ya no quedan bien.