Cálculo de la cantidad mínima y costo promedio mínimo
Calcular la cantidad de unidades que se deben fabricar para que el costo promedio sea el mínimo y determinar el costo promedio mínimo. La función de costo es C(q)=0.05q2+5q+500
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Mariana!
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$$\begin{align}&\text{Primero se calcula el costo promedio}\\&\\&Cm(q) =\frac{C(q)}q = 0.05q + 5 + \frac{500}q\\&\\&\text{luego se deriva y se iguala a 0}\\&\\&Cm'(q) = 0.05 - \frac{500}{q^2} = 0\\&\\&0.05 = \frac{500}{q^2}\\&\\&q^2 = \frac{500}{0.05} = 10000\\&\\&q = \sqrt{10000} = 100\\&\\&\text{Comprobamos que es un mínimo}\\&\text{Para ello calculamos la derivada segunda}\\&\\&Cm''(q) = \frac{500·2q}{q^4} = \frac{1000}{q^3}\\&\\&Cm''(100) = 1000/(100)^3 = 0.001 \lt 0\\&\\&\text{luego es un mínimo y es}\\&\\&Cm(100) = 0.05·100 + 5 + \frac{500}{100} = \\&\\&5+5+5 = 15\end{align}$$·
Luego el costo promedio mínimo se da fabricando 100 unidades y dicho costo es 15.
¡Gracias!
Disculpas, no entiendo cómo salió la segunda derivada q4, q3?
Podría explicármelo un poco más a detalle por favor?
Sí. Pero fíjate que se puede votar excelente en las preguntas y se puede cambiar lo que has votado. Si no se vota Excelente se pierde la posibilidad de que conteste más preguntas.
La segunda derivada se saca de la primera usando una fórmula inmediata, al menos a mi me la enseñaron como inmediata
$$\begin{align}&\left(\frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{u^2}\\&\\&\text {fíjate que se podría deducir de la del cociente}\\&\\&\left(\frac{1}{u} \right)'=\frac{1'·u-1·u'}{u^2}=\frac{0·u-u'}{u^2}=-\frac{u}{u^2}\\&\\&\text{pero es mejor si la sabes de memoria}\\&\\&\text {entonces}\\&\\&Cm'(q) = 0.05-\frac{500}{q^2}\\&\\&Cm''(q) = 0-500·\left(\frac 1{q^2}\right)'=\\&\\&-500·\left(- \frac{2q}{q^4} \right)= \frac{1000q}{q^4}=\frac{1000}{q^3}\end{align}$$Y eso es todo.
¡Gracias!
Si ya entendí, muchas gracias por indicarme como debo votar, es mi primera vez.
Agradezco infinitamente su apoyo. Saludos
