Como resuelvo estas integrales y como se si es definida o por sustitución.
Como se resuelven, ¿me podrian indicar la formula? Gracias. ∫3xe^(1-2x^2 )dx ∫9^(5x+3) dx
2 Respuestas
Ambas integrales se resuelven por sustitución, te comenzarás a dar cuenta a medida que hagas varios ejercicios, no hay una "receta mágica", pero como referencia te puedo decir que deberías buscar si entre los términos, tenés el diferencial de otro término (multiplicado/dividido por alguna constante). Luego de esto vamos a los ejercicios:
$$\begin{align}&\int 3xe^{1-2x^2}\ dx\\&sustitución \ u = 1-2x^2\\&du = -4x\ dx\\&{-du \over 4} = x\ dx\\&\int 3e^u\ ({-du \over 4}) = \\&{-3 \over 4} \int e^u\ du = \\&{-3 \over 4} e^u + C = \\&{-3 \over 4} e^{1-2x^2}+ C = \\&...\\&\int 9^{5x+3}\ dx\\&sustitución \ u=5x+3\\&du = 5\ dx\\&{du \over 5} = dx\\&\int 9^u\ {du \over 5} = \\&{9^u \over 5 \ ln\ 9} + C=\\&{9^{5x+3} \over 5 \ ln\ 9} + C\\&\\&\end{align}$$En el segundo con práctica realmente no hacía falta sustitución, pero la dejé completa por las dudas
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Definida y por sustitución no son conceptos excluyentes, se pueden ser las dos cosas. Definida es cuando tiene los dos numeritos abajo y arriba del símbolo de integración. Por sustitución significa que hay que hacer algún cambio de variable para resolverla. Y puede ser las dos cosas a la vez, solo una o ninguna. Las que no son por sustitución pueden ser directas, por partes o algún otro tipo más raro.
La primera la haré por sustitución aunque no costaría mucho hacerla directamente ajustando al guna constante:
$$\begin{align}&∫3xe^{1-2x^2 } dx=\\&\\&t=1-2x^2\\&dt=-4x\,dx\implies x\,dx=-\frac 14dt\\&\\&=\int3·\left(-\frac 14 \right)e^tdt=\\&\\&-\frac 34e^t+C=\\&\\&-\frac 34e^{1-2x^2}+C\\&\end{align}$$.
La segunda no la veo de suficiente entidad para montar el tenderete de las integrales por cambio de variable, simplemente ajustaremos constantes para que dentro quede una derivada exacta y fuera se compensa con esa misma constante dividiendo.
$$\begin{align}&\int9^{5x+3}dx=\\&\\&\text{multiplicamos y dividimos por }ln\,9\\&\\&=\frac{1}{ln\,9}\int 9^{5x+3}ln\,9\;dx=\\&\\&\text{y multiplicamos y dividimos por 5}\\&\\&=\frac 15·\frac{1}{ln\,9}\int 5·9^{5x+3}ln\,9\;dx=\\&\\&\text{Y el integrando es la derivada exacta de }9^{5x+3}\\&\\&=\frac{9^{5x+3}}{5·ln\,9}+C\\&\end{align}$$Y eso es todo.
¡Gracias!
No sé qué ha tenido de malo mi respuesta para que no sea calificada de Excelente. Si haciéndolo bien no puedo tener garantía de una puntuación justa dejaré de responderte. Espero rectifiques las puntuaciones de esta y esta otra cuyo enlace adjunto para poder seguir colaborando contigo.