Integrales impropias por el método de fracciones parciales

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Continuaremos donde lo dejan.

$$\begin{align}&\frac{x^2-8}{x(x^2+4)}=\frac Ax+\frac{Bx+C}{x^2+4}=\\&\\&\text {sumamos las fracciones}\\&\\&\frac{A(x^2+4)+(Bx+C)x}{x(x^2+4)}=\\&\\&\frac{Ax^2+4A+Bx^2+Cx}{x(x^2+4)}=\\&\\&\frac{(A+B)x^2+Cx +4A}{x(x^2+4)}\\&\\&\text{Como el denomnadpr final es el mismo que}\\&\text{el inicial, los numeradores también los son}\\&\\&x^2-8 =(A+B)x^2+Cx +4A\\&\\&\text {Es una igualdad en polinomios, se deducen}\\&\text{tres ecuaciones}\\&A+B=1\\&C=0\\&4A = -8  \implies A=-2  \\&\text{y volviendo a la primera}\\&-2+B=1\\&B=3\\&\\&\text{luego la integral en fracciones simples es}\\&\\&\int \left(\frac{-2}x+\frac{3x}{x^2+4}\right)dx=\\&\\&-2ln|x|+3·\frac 12\int \frac{2x}{x^2+4}dx=\\&\\&-2ln|x|+\frac 32 ln(x^2+4)+C\\&\end{align}$$

La verdadera integral es el logaritmo neperiano del módulo.  Como x^2+4 es siempre positivo no lo he puesto, pero en x lo he puesto.

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a) El cero es un punto donde la función tiende a infinito, no se puede usar la regla de Barrow si uno de los extremos es el 0 o si el 0 entra dentro del intervalo de integración.

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b)

Podremos integrar la función en intervalos [a,b] siempre que los dos tengan el mismo signo y sean distintos de 0.

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c)

Una integral impropia divergente es una integral donde uno de los extremos o los dos son infinitos y/o la función tiende a infinito en un algún punto del intervalo y el área que encierra es infinita.

A vista no sabemos si es infinita o no, pero calculado el área con límites se puede saber si es divergente.

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Y eso es todo.