¿Cómo encontrar el volumen máximo?
Encontrar el volumen máximo posible de la caja
Si se cuenta con 122 cm ^2 de material para hacer una caja de base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen max
Llamaré x a la arista de la base del cuadrado, y
H a la altura de la caja
El volumen del prisma es V=x^2h
La superficie de la caja es un cuadrado (base) y cuatro rectángulos (caras laterales):
$$\begin{align}&122=x^2+4xh\\&\\&\Rightarrow\\&h=\frac{122-x^2}{4x}\\&\\&V=x^2h\\&\\&V(x)=x^2·\frac{122-x^2}{4x}=\frac{122x-x^3}{4}\\&Derivando\\&V'(x)=\frac{1}{4}(122-3x^2)\\&V'(x)=0\\&122-3x^2=0\\&x= \sqrt{\frac{122}{3}}=6.377042\\&\\&\Rightarrow\\&sustituyendo\\&h=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{122}{3}}=3.18852\\&\\&V_{max}=20.33 \ cm^3\end{align}$$Para comprobar el máximo,miramos el signo de la derivada a la izquierda y a la derecha de x=6.377
V'(6)>0 creciente
V'(6)<0 decreciente
Luego x=6.377 es un máximo
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·
Sea x la arista del cuadrado de la base
Entonces su superficie será x^2
Y para las paredes quedarán
122-x^2 cm^2
Como son cuatro cada una tendrá
(122-x^2)/4 cm^2
Y como la base de cada pared es la arista de la base, entonces la altura de la pared será
[(122-x^2)/4] / x = (122-x^2) / (4x) cm
Luego el volumen de la caja será area de la base por altura
$$\begin{align}&V(x)= x^2·\frac{122-x^2}{4x}=\frac{122x-x^3}{4}\\&\\&\text{Derivamos e igualamos a 0}\\&\\&V'(x) = \frac {122-3x^2}4=0\\&\\&3x^2=122\\&\\&x=\sqrt{\frac {122}3}\approx 6.37704\\&\\&v( 6.37704) = \frac{122·6.37704- 6.37704^3}{4}\approx\\&\\&129.6665\; cm^3\\&\\&\end{align}$$
Te faltó multiplicar otra vez por x para el volumen. Saludos - Valero Angel Serrano Mercadal