Como resuelvo esta integral por sustitucion?

No hace falta utilizar sustitución ya que es un polinomio y la integral del polinomio es directamente la integral de la suma (o resta) de sus miembros, luego

$$\begin{align}&\int_0^3 1/2 x^3 - 2x^2 + x + 3 \ dx= 1/2 \int_0^3 x^3\ dx - 2 \int x^2\ dx + \int_0^3 x \ dx + 3 \ \int_0^3dx= \\&\Big| 1/2 {x^4 \over 4}-2{x^3 \over 3}+{x^2 \over 2}+3x \Big|_0^3=\Big( {3^4 \over 8}-2{3^3 \over 3}+{3^2 \over 2}+3*3 \Big)- \Big( {0^4 \over 8}-2{0^3 \over 3}+{0^2 \over 2}+3*0 \Big)=\\&=( {81 \over 8}-18+{9 \over 2}+9 )- 0={45 \over 8}=5,625\end{align}$$

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Esta integral no se resuelve por sustitución es directa sin más que usar esta fórmula

$$\begin{align}&\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\\&\\&\text {y las propiedades de linealidad}\\&\\&\int[c·f(x)+k·g(x)]dx=\\&\\&c·\int f(x)dx+k·\int g(x) dx\\&\\&\text{donde c y k son constantes}\\&\\&\\&\int_0^3 \left(\frac 12 x^3 - 2x^2 + x + 3\right) dx=\\&\\&=\left[\frac 12·\frac{x^4}{4}-2·\frac{x^3}{3}+\frac {x^2}2+3x  \right]_0^3=\\&\\&\frac{81}{8}-18+\frac 92+9-0+0-0-0=\\&\\&\frac{81+36}{8}-9=\frac{117-72}{8}=\frac {45}8{}\end{align}$$

Y si lo dejas así nadie puede reñirte porque los números racionales son parte de las matemáticas y los decimales tienen muy mala fama entre los matemáticos, sobre todo si están cortados.  Ahora bien, si tu ves que tu profesor los pone en decimal tu hazlo también y pon 5.625

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Y eso es todo.