Si x es racional y distinto de cero y y es irracional, entonces x + y y xy son racionales
Hola espero me ayuden es sobre métodos de demostración.
De antemano agradezco su apoyo.
2 respuestas
Los números irracionales son aquellos que su representación decimal es infinita, por ejemplo el número pi (3.1415...), sus decimales son infinitos.
Los números racionales, son los números enteros, el 0 (cero), o las fracciones de entero, por ejemplo: 2/5 (dos entre 5)
Partiendo de lo anterior
Si x = 2 (racional)
si y = 3.1415.... (irracional)
Si sumas x + y, el resultado es
2 + 3.1415.... = 5.1415..... (es un número irracional)
Si multiplicas x · y, el resultado es
2 · 3.1415... = 6.1415... (es un número irracional)
En conclusión
X + y y xy son irracionales.
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El enunciado está equivocado:
x+y es irracional
x·Y es irracional.
Vamos a demostrarlo.
Tenemos x racional, y irracional
Supongamos que z=x+y fuese racional entonces
x+y = z
y = z - x
Como z es racional y x es racional entonces su resta es un número racional.
Luego y es racional, pero esto es absurdo ya que y era irracional, no se puede ser a la vez racional e irracional.
Por lo tanto la hipótesis de que x+y es racional es falsa, luego x+y es irracional.
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Con la multiplicación pasa tres cuartas partes de lo mismo, el único añadido es que han dicho que x sea distinto de 0 ya que 0 por cualquier número es 0.
Entonces tenemos x racional distinto de 0 y y irrracional.
Supongamos que z=xy es racional, entonces
y = z/x
Notese que podemos hacer esa división porque x es distinto de 0
Como z es racional y x es racional su cociente es racional, con lo cual y es racional.
Pero esto es absurdo porque y era irracional y no se puede ser racional e irracional a la vez. Luego la hipótesis xy racional es falsa y por lo tanto xy es irracional.
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