Su apoyo en ejercicios de integrales 2

$$\begin{align}&d)\quad \int \frac{8x\;dx}{3 \sqrt[3]{7-2x^2}}=\\&\\&t=7-2x^2\\&dt=-4x\,dx\implies x\,dx=-\frac 14dt\\&\\&=\frac 83\int-\frac 14·\frac{1}{\sqrt[3]t}dt\\&\\&-\frac{2}{3}\int t^{-1/3}dt=\\&\\&-\frac 23 ·\frac{t^{2/3}}{\frac 23}+C=-t^{2/3}+C=\\&\\&-(7-2x^2)^{2/3}+C = \\&\\&-\sqrt[3]{(7-2x^2)^2}+C\end{align}$$

¡Hola Carlitos!

·

Haremos el cambio de limites de integración a la vez que el cambio de variable, de esta forma no se tiene que revertir el cambio.

$$\begin{align}&c)\quad \int_0^1 7x \sqrt{4-x^2}dx=\\&\\&t =4-x^2\\&dt=-2x\,dx\implies x\,dx=-\frac 12dt\\&x=0\implies t=4-0^2=4\\&x=1\implies t=4-1^2=3\\&\\&=7\int_4^3-\frac 12·\sqrt t\;dt=\\&\\&-\frac 72\int_4^3t^{1/2}dt =\\&\\&\left. -\frac 72·\frac{t^{3/2}}{\frac 32} \right|_4^3=\left.-\frac 73 t^{3/2}\right|_4^3=\\&\\&-\frac 73\left(3^{3/2}-4^{3/2}  \right)=\\&\\&-\frac 73\left(\sqrt{27}-\sqrt{64}\right)=\\&\\&\frac 73(8-3 \sqrt{3})\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

Hola Sr Valero tengo una duda en el ejercicio c, no cambia el resultado el hecho de que el dx se encuentre dentro de la división en el ejercicio que usted muy amablemente resolvió, a el dx que esta fuera de la división del ejemplo

Perdón es en el ejercicio D