Sea B = {e1,e2,e3} la base canònica de R^3
Estoy intentando resolver un problema y me he atascado con este ejercicio. Dice:
Sea B = {e1,e2,e3} la base canònica de R^3 y considere los vectores:
u1 = e1+e3
u2=e2+e3
u3= e1+e2+e3
Determinad las coordenadas en la base U={u1,u2,u3} (R^3) del vector v que pertenece a R^3 que tiene de coordenadas (1,2,1) en la base B.
Gracias
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La base canónica de R3 es:
e1 = (1,0,0)
e2 = (0,1,0)
e3 = (0,0,1)
Por lo tanto tendremos
u1 = e1+e3 = (1,0,0)+(0,0,1) = (1,0,1)
u2 = e2+e3 = (0,1,0)+(0,0,1) = (0,1,1)
u3 = e1+e2+e3 = (1,1,1)
Y ahora tenemos que expresar el vector (1,2,1) como combinaciónb lineal de u1, u2, u3
Sean (x,y,z) las coordenadas
x(1,0,1) + y(0,1,1) + z(1,1,1) = (1,2,1)
haciendo operaciones
(x+z, y+z, x+y+z) = (1,2,1)
Y esto es un sitema de tres ecuaciones
x+z = 1
y+z = 2
x+y+z = 1
Y esto se resuleve como te hayan enseñado, no sé si habrás dado la forma de resolverlo mediante matrices, pero es más sencillo hacerlo de una forma normal
Como x+z=1 sustituimos x+z en la tercera ecuación y queda
1+y = 1
y=2
ahora sustituimos esto en la segunda
2+z=2
z=0
y finalmente vamos a la primera
x+0 = 1
x=1
Luego las coordenadas son (1,2,0)
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Y eso es todo, espero que te sirva lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.
