¿Hola me pueden ayudar con polinomios?
Dado el polinomio P(x)=105x^3+37x^2-40x+k. Calcular k y factorear P(x) si la suma entre dos de sus ceros es -1/15
1 respuesta
Respuesta de Lucas m
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Victoria Gabriela!
Bonito ejercicio.
¿En qué curso te lo han preguntado?
Antes de nada, haremos uso de dos identidades notables:
$$\begin{align}&\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ &\\ &\Rightarrow a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2 \ (i)\\ &\Rightarrow a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) \ (ii)\\ &\\ &\\ &(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ &\Rightarrow a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\ &\\ &P(x)=105x^3+37x^2-40x+k\\ &Sean \ a \ y \ b \ los \ ceros\\ &a+b=-\frac{1}{15} \ (I)\\ &P(a)=0 \ y \ P(b)=0\\ &105a^3+37a^2-40a+k=0 \ (II)\\ &105b^3+37b^2-40b+k=0 \ (III)\\ &\\ &(II)+(III)\\ &105(a^3+b^3)+37(a^2+b^2)-40(a+b)+2k=0\\ &\\ &Sustituyendo (i) (ii) y (I)\\ &\\ &105[(a+b)^3-3ab(a+b)]+37[(a+b)^2-2ab]-40(a+b)+2k=0\\ &\\ &105[(-\frac{1}{15})^3+\frac{3}{15}ab]+37[(\frac{1}{15})^2-2ab]+\frac{40}{15}+2k=0\\ &Operando:\\ &10k-265ab+14=0 \ (*)\\ &De (II):\\ &k=-105a^3-37a^2+40a\\ &De (I)\\ &b=-a-\frac{1}{15}\\ &\\ &Sustituyendo \ en \ (*)\\ &\\ &-1050a^3-370a^2+400a-265a(-a-\frac{1}{15})+14=0\\ &Operando\\ &3150a^3+315a^2-1253a-42=0\\ &Simplificando \ por \ 7\\ &450a^3+45a^2-179a-6=0\\ &\\ &Ruffini\\ &a_1=-\frac{2}3 \Rightarrow b_1=\frac{3}{5} \Rightarrow k=-12\\ &\\ &a_2=\frac{3}{5} \Rightarrow b_2=-\frac{2}3\\ &\\ &a_3=-\frac{1}{30}=b_3 \Rightarrow k=-\frac{2467}{1800}\\ &\\ &Si \ k=-12\\ &P(x)=105x^3+37x^2-40x-12=(3x+2)(5x-3)(7x+2)\\ &\\ &\\ &\end{align}$$
