Necesito resolver los siguientes ejercicios de máximos y mínimos
Buenas noches necesito resolver los siguientes ejercicios
1. Hallar la ecuación de la recta que, pasando por el punto (3,4), determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados, un triangulo de área mínima.
2. Hallar un punto de la parábola y=4-x^2 en el que la tangente determine en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triangulo de área mínima.
3. Hallar el radio R del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio r.
4. Demostrar que todos los triángulos isósceles que se pueden circunscribir a una circuferencia de radio r, el de área mínima es el quilatero de lado 3r
1 Respuesta
Uriel Rey!
Como nueva en el chat te comento que solo mandes un problema por pregunta.
Y mas aún cuando son problemas tan extensos.
Lo único que se pide es votar la respuesta. Excelente es lo correcto.
Te contestaré el 2.-
SEa T el punto buscado .T=(a, 4-a^2) por ser de la parábola.
Hemos de encontrar los puntos P y B, de corte con los ejes de la recta tangente a la parábola en T.
La pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada.
Los punto P y B ,haciendo y=0 , y x=0 en la ecuación de la recta.
Vamos allá:
$$\begin{align}&\ y=4-x^2\\ &y '=-2x\\ &\\ &T=(a,f(a))=(a,4-a^2)\\ &y ' (a) = -2a\\ &\\ &Recta \ tangente \ y-y_o=m(x-x_o) \Rightarrow \\ &y-(4-a^2)=-2a(x-a)\\ &P \Rightarrow y=0 \Rightarrow-4+a^2=-2ax+2a^2 \Rightarrow x=\frac{a^2+4}{2a}\\ &P=(\frac{a^2+4}{2a},0)\\ &\\ &B \Rightarrow x=0 \Rightarrow y-4+a^2=2a^2 \Rightarrow y=a^2+4\\ &B=(0,a^2+4)\\ &\\ &Area=f(a)=\frac{1}{2}OP·OB=\frac{(a^2+4)^2}{4a}\\ &\\ &A'(a)=\frac{2(a^2+4)·2a·4a-4(a^2+4)^2}{16a^2}=\\ &\\ &\frac{16a^2(a^2+4)-4(a^2+4)^2}{16a^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{4(a^2+4)[4a^2-(a^2+4)]}{16a^2}=\\ &\\ &\frac{(a^2+4)[3a^2-4]}{4a^2}\\ &\\ &A '=0 \Rightarrow3a^2-4=0 \Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt3} \simeq 1,1547\\ &\\ &\Rightarrow Solución \Rightarrow T=(\frac{2}{\sqrt3},\frac{8}{3})\\ &\\ &Comprobación \ mínimo\\ &A '(1)=- \Rightarrow decreciente \ a \ la \ izquierda\\ &A' (2)=+\Rightarrow creciente \ a \ la \ derecha\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Espero que te sirva y que lo entiendas
Un placer
