Quien me puede ayudar con este problema utilizando el teorema de chebyshev?
Los resultados de una encuesta nacional aplicada a 1154 estudiantes mostraron que, en promedio, los adultos duermen 6,9 horas por día durante una semana de trabajo. Si la desviación estándar en este estudio fue de 1,2 horas:
Calcula el porcentaje de individuos que duerme entre 4,5 y 9,3 horas por día. Para ello, utiliza el teorema de chebyshev.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}& \\ & \\ & \end{align}$$¡Hola Dafflys Romaña!
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El teorema de Chebyshev dice
$$\begin{align}&P(|X-\mu|\gt k\sigma)\le \frac{1}{k^2}\end{align}$$La probabilidad que nos piden es
$$\begin{align}&P(4.5\le X\le 9.3) =\\ & \\ & P(6.9-2.4\le X \le 6.9+2.4)=\\ & \\ & P(-2.4 \le X-6.9 \le 2.4) =\\ & \\ & P(|X-6.9|\le2.4)=\\ & \\ & \text{Como }\mu=6.9\\ & \\ & =P(|X-\mu|\le2.4)=\\ & \\ & 1-P(|X-\mu|\gt2.4)=\end{align}$$Tras varias operaciones ya tenemos una probabilidad como la que sale en el teorema, ahora calculamos k teniendo en cuenta el valor de la desviación que es 1.2
Si hacemos k = 2 tendremos
$$\begin{align}&1-P(|X-\mu|\gt2.4)=\\ &\\ &1-P(|X-\mu|\gt2·1.2)=\\ &\\ &\text{como la desviación es 1.2}\\ &\\ &= 1-P(|X-\mu|\gt2\sigma)\\ &\\ &\text{y por el teorema d Chebyshev esa probabilidad}\\ &\text{es menor que }\frac 1{k^2}=\frac 1{2^2}=\frac 14\\ &\\ &P(|X-\mu|\gt2\sigma)\le \frac 14\implies\\ &\\ &-P(|X-\mu|\gt2\sigma)\ge -\frac 14\implies\\ &\\ &1 -P(|X-\mu|\gt2\sigma)\ge 1-\frac 14=\frac 34 = 0.75\\ &\\ &\text{Luego en resumen}\\ &\\ &P(4.5 \lt X\lt 9.3)\ge 0.75\\ &\end{align}$$
