Desarrollar la solución unidad 4 ACTIVIDAD 20

Antonio Gomez!

En integrales no inmediatas un solo ejercicio por pregunta.

Este es un tipode integral que conozco yo que hay que aplicar 2 veces la integración por partes. Y también sé que ir trabajando con la integral definida durante el proceso es un lío innecesario, luego resolveremos primero la indefinida y luego la evaluamos entre los límites

Llamaremos I a la función primitiva (o antiderivada puede que se llame allí)

$$\begin{align}&I=\int sen 3x·cosx\;dx=\\ & \\ & u = sen 3x\quad\quad du =3cos3x\;dx\\ & dv = cosx\;dx\quad v=senx \\ & \\ & =senx·sen3x -\int 3cos3x·senx\;dx=\\ & \text{se opera otra vez distribuyeno así u y dv}\\ & \\ & u=3cos3x\quad \quad du = -9sen 3x \;dx\\ & dv=senx\;dx\quad v= -cosx\\ & \\ & =senx·sen3x+3cosx·cos3x+9\int sen3x·cosx\;dx\\ & \\ & \text{la integral que queda es la que llamamos }I \text{ luego}\\ & \\ & I = senx·sen3x + 3cosx·cos3x+ 9I\\ & \\ & -8I =senx·sen3x + 3cosx·cos3x\\ & \\ & I=\frac{-senx·sen3x - 3cosx·cos3x}{8}\\ & \end{align}$$

Se puede dejar así o se puede operar más, pero como esto no es el resultado final nos sirve así

$$\begin{align}&\left.\frac{-senx·sen3x - 3cosx·cos3x}{8}\right|_0^{\pi/3}=\\ &\\ &\frac{-sen(\pi/3)·sen(\pi)-3cos(\pi/3)·\cos(\pi)}{8}+\\ &\\ &\frac{sen0·sen0+3cos0·cos0}{8}=\\ &\\ &\frac{0+\frac 32+0+3}{8}=\frac {\frac 92}{8}=\frac 9{16}\end{align}$$

Y eso es todo.