Buenas noches, me ayuda por favor a resolver derivadas de una función y su representación ...
Derivadas de una función y su representación por medio de la serie de Taylor.
Obtén la representación en términos de los polinomios de Taylor, para la función log(x) alrededor del punto x=1 .
Gracias por su ayuda.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La serie de Taylor de una función f(x) en torno al punto x=a es esta
$$\begin{align}&f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+···+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+···\\ &\\ &f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\end{align}$$En este caso nos dicen a=1. La función log se interpreta como logaritmo neperiano tal como lo hacen los anglosajones
$$\begin{align}&f(1) = log(1) =0\\ &\\ &f '(x) = 1/x = x^{-1} \implies f '(1) = 1\\ &\\ &f'' (x) = -1·x^{-2} \implies f ''(1) = -1\\ &\\ &f '''(x) = 2x^{-3} \implies f '''(1) = 2\\ &\\ &f ^{(4)}(x) = -6x^{-4} \implies f^{(4)}(1) = - 6\\ &\\ &....\\ &\\ &f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)! x^{-n}\implies f^{(n)}(1)=(-1)^{n-1}(n-1)!\\ &\\ &\\ &log(x) = 0 +1(x-1)-\frac 12(x-1)^2+\frac 13(x-1)^3-···\\ &\\ &\text{Lo ponemos mejor en forma de sumatorio}\\ &\\ &log(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{n!}(x-1)^n\\ &\\ &log(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(x-1)^n}{n!}\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
¡Gracias!
Con esto queda comprobado mi aprendizaje, estuve resolviendo el ejercicio con videos de you tube y obtuve el mismo resultado y hasta pude hacer la gráfica. Aunque mi aprendizaje se va dando poco seguiré luchando por seguir adelante.
Estoy muy agradecida con usted por la ayuda que me brinda.
Saludos cordiales.
