Qué significa que una transformación (mapeo) lineal esté elevada al cuadrado?
Hola, me definen una transformación lineal P: V-->V tal que P^2 = P. Tengo entendido que para demostrar que una transformación sea lineal debe de cumplir que dados v1,v2 cualesquiera en V del dominio pasa que P(v1+v2)=P(v1)+P(v2) y dado k cualquiera del campo kP(v1)=P(kv1), debo entender entonces que si P^2=P, entonces [P(v1+v2)]^2=[P(v1)+P(v2)]^2 ??
1 respuesta
Loli Loliando!
Te está confundiendo la notación.
Por abuso de lenguaje a una función aplicada sobre si misma se le llama función al cuadrado, entonces
P^2(v) = P[P(v)]
por ejemplo, si
P(x) = 3x
P^2(x) = P[P(x)] = P(3x) = 9x
Mientras que tu has considerado
P^2(x) = [P(x)]^2 = (3x)^2 = 9x^2
que es distinto.
Entonces lo que no sé es ¿cuál es la pregunta? ¿Demostrar qué una transformación que cumple P^2=P es lineal?
Ten en cuenta que P^2=P significa
P(P(v)) = P(v) para todo v E V
Ya me dirás si con eso te sale, y sino dime cuál es la pregunta exactamente.
Hola, gracias por despejarme la duda, aunque ahora lo que me surge es si P=P^2 es suprayectiva, ¿lo es, no?
El problema completo me lo reservo pues es examen y no quiero hacer trampa je je saludos
No, no tiene porque ser suprayectiva. Si fuese suprayectiva entonces por ser de un conjunto en si mismo seria biyectiva y la inversa P^-1 también sería biyectiva
Entonces
P(P(v)) = P(v)
aplicaríanos la inversa
P^-1(P(P(v))) = P^-1(P(v))
P(v) = v
Y P sería la identidad.
Pero la función nula que en ninguna forma es auprayectiva sino todo lo contrario, cumple P^2 = P
O(O(x)) = O(0) = 0
O(0) = 0
Hay otro ejemplo más normal, la proyección sobre el plano z=0
P(x,y,z) = (x,y,0)
no es suprayectiva
P(P(x,y,z)) = P(x,y,0) = (x,y,0)
Y eso es todo.
