Encontrar la suma infinita

Cuando unimos puntos medios de un cuadrado formamos un triángulo rectángulo de lados iguales.

$$\begin{align}&\text{Si el lado del cuadrado (n-1)-ésimo es }l_{n-1}\\ &\\ &l_n= \sqrt{\left(\frac{l_{n-1}}{2}  \right)^2+\left(\frac{l_{n-1}}{2}  \right)^2}=\\ &\\ &\sqrt{2 \left(\frac{l_{n-1}}{2}  \right)^2}= \frac{l_{n-1}}{2} \sqrt 2=l_{n-1}\left(\frac {\sqrt 2}{2}\right)\\ &\\ &\text{Esto es una pregresión geométrica con razón}\\ &\\ &r=\frac{\sqrt 2}{2}\\ &\\ &l_n=12\left(\frac {\sqrt 2}{2}\right)^{n-1}\\ &\\ &\text {y los perímetros son esto multiplicado por 4}\\ &\\ &p_n=48\left(\frac {\sqrt 2}{2}\right)^{n-1}\\ &\end{align}$$

Nome dejaba abrir líneas nuevas y no podía escribir, ahora continúo.

Cuando una progresión geométrica tiene razón menor que uno la suma de los infinitos términos converge a un número finito que es

$$\begin{align}&S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}\\ &\\ &\text{En los perímetros } a_1=48\\ &\\ &S_{p_{\infty}}=\frac{48}{1-\frac{\sqrt 2}{2}}=\frac{48}{\frac{2-\sqrt 2}{2}}=\\ &\\ &\frac{96}{2-\sqrt 2}=\frac{96(2+\sqrt 2)}{2^2-(\sqrt 2)^2} = 48(2+\sqrt 2)\approx\\ &\\ &163.882251\; cm\end{align}$$

Las areás de los cuadrados son los lados al cuadrado

$$\begin{align}&a_n = \left(12\left( \frac{\sqrt 2}{2}\right)^{n-1}\right)^{2}=\\ &\\ &144\left(\left(\frac{\sqrt 2}{2}  \right)^2\right)^{n-1} =\\ &\\ &144\left(\frac 24\right)^{n-1}=144 \left(\frac 12\right)^{n-1}\\ &\\ &\text{Es una progresión geométrica de razon 1/2 }\\ &\text{y término } a_1=144\\ &\\ &S_{a_\infty}=\frac{144}{1-\frac 12}= \frac{144}{\frac 12}= 288cm^2\end{align}$$

¡Gracias! 

Ahora lo que debes hacer es valorar la respuesta, eso es lo que nos da puntos y uno de los motivos principales por los que constestamos preguntas, por esos puntos.