Resolver la siguiente pregunta sobre integracion

El único cambio que puede verse es t=sqrt(x), veamos:

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{\sqrt x(x+\sqrt x)}=\\ & \\ & t=\sqrt x\\ & \\ & dt=\frac{dx}{2 \sqrt x}\implies \frac{dx}{\sqrt x}= 2dt\\ & \\ & \int \frac {2dt}{t^2+t}=\\ & \\ & \text{la transformamos en fracciones simples}\\ & \text {la factorización del denominador es }t(t+1)\\ & \\ & \int\left( \frac{a}{t}+\frac{b}{t+1}\right)dt=\\ & \\ & a(t+1)+bt=2\\ & at+a+bt=2\\ & a=2\\ & a+b=0 \implies b=-2\\ & \\ & =2\int \frac {dt}{t}-2\int \frac{dt}{t+1}=\\ & \\ & 2\left( ln|t|-ln|t+1|\right)+C=\\ & \\ & 2\left(ln \sqrt x - ln(1+\sqrt x)\right)+ C\\ &\\ &\text{Si quieres puedes dejarlo así}\\ &\\ &ln \left[\left(\frac{\sqrt x}{1+\sqrt{x}}\right)^2  \right]= ln \left(\frac{x}{1+x+2 \sqrt x}\right)\\ & \end{align}$$

Y eso es todo.