Problema sobre lugares geométricos
determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a la recta 4x+3y-1=0 es 2
gracias por adelantado
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Andrea Lafuente!
La distancia de un punto P(xo, yo) a una recta r: Ax+By+C=0 tiene esta fómula.
$$\begin{align}&d(P,r)=\frac{Ax_o+By_o+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\\ &\\ &\text{entonces en este ejercicio tenemos}\\ &\\ &2= \frac{|4x_0+3y_0-1|}{\sqrt{4^2+3^2}}\\ &\\ &2= \frac{|4x_0+3y_0-1|}{\sqrt{25}}\\ &\\ &2= \frac{|4x_0+3y_0-1|}{5}\\ &\\ &|4x_0+3y_0-1|=10\\ &\\ &\text{Pongamos }(x,y)\text{ en lugar de }(x_0,y_0)\\ &\text{ya que son varios puntos, un lugar geométrico.}\\ &\\ &|4x+3y-1|=10\end{align}$$Y ahora ya tod es cuestión de gustos o de la forma como te hayan enseñado que hay que dejarlo
Se puede dejar así como esta, o se puede dejar como dos rectas
4x + 3y -1 = 10 ==> 4x + 3y -11 = 0
4x + 3y -1 = -10 ==> 4x + 3y + 9 = 0
O incluso en algún sitio podrás ver que se eleva al cuadrado para quitar el módulo.
$$\begin{align}&(4x+3y -1)^2 = 100\\ &\\ &16x^2+9y^2+1+24xy-8x-6y=100\\ &\\ &16x^2+9y^2+24xy-8x-6y -99=0\end{align}$$Esta última solución me parece excesiva y poco clara, luego quédate con una de las dos primeras.
