Utilizando el segundo teorema de translación determina la transformada de Laplace de la función f(t)

Para la transformada de una función que es cero hasta cierto punto a y luego una función que tiene transformada se usa el segundo teorema de traslación que bajo esas condiciones asegura que:

Si L{f(t)} = F(s) y a>0 entonces

L{f(t-a)·H(t-a)} = e^(-as)·F(s)

donde

H(t) es la función escalón unitario o de Heaviside cuyos valores son

H(t) = 0 si t<0

H(t) = 1 si t>=0

En este caso el escalón no debe comenzar en t=0 sino en t=pi.

Para ello tomamos la función

H(t-pi)

mientras t<pi será t-pi<0 luego  H(t-pi)=0,

y cuando  t>=pi será t-pi>=0 luego H(t-pi)=1

Luego está bien.

Y si tomamos como función f la función seno tenemos que la gráfica es esta funcion

f(t) = H(t-pi)·sen(t-pi)

ypor la teoría o mirando las tablas sabemos que

F(s) = L{sen(t)} = 1/(s²+1)

luego aplicando el segundo teorema tendremos

L{f(t)} = L{H(t-pi)·sen(t-pi)} = e^(-pi·s)·[1/(s²+1) = e^(-pi·s)/(s²+1)

Si acaso lo escribimos con el editor para que quede más claro

$$\begin{align}&L\{f(t)\} = \frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}\end{align}$$

Y eso es todo.