Transformada de laplace cuando f(t) =2t+1
Tengo la inquietud como debe quedar si estoy realizando la transformada de laplace cuando
f(t)=2t+1, ademas cuando f(t)=cost y cuando es f(t)=sent.
2 Respuestas
Caro Martin!
Las transformadas que dices son casi inmediatas o están en las tablas
f(t) = sent ==> F(p) = 1 / (p^2+1)
f(t) = cost ==> F(p) = p / (p^2+1)
f(t) = 2t+1 ==> F(p) = [2/(s^2)] + 1/s
Esta última se hace aplicando la linealidad de la transformada y la fórmula
f(t) = t^n ==> F(p) = n! / [p^(n+1)]
Y eso es todo, salvo que quisieras hacerlo por la definición de la transformada. Dímelo en es caso.
Hola valeroasm!!!
Por la forma de la transformada como seria?, si lo tengo que hacer asi.
Gracias por tu colaboración.,
Pues tomaremos la definición de la transformada de Laplace:
$$\begin{align}&L \{f(t)\}=\int_0^{\infty}e^{-pt}f(t) dt\\ &\\ &L \{sen\,t\}=\int_0^{\infty}e^{-pt}sen\,t dt=\\ &\\ &u=sen\,t\implies du = \cos t dt\\ &dv= e^{-pt}dt\implies v = -\frac{e^{-pt}}{p}\\ &\\ &=\left[-\frac{e^{-pt} sen\,t}{p}\right]_0^{\infty}+ \frac 1p\int_0^{\infty}e^{-pt}\cos t dt =\\ &\\ &\\ &0+\frac 1p\int_0^{\infty}e^{-pt}\cos t dt =\\ &\\ &u = \cos t\implies du = -sen\,t\\ &dv = e^{-pt}dt\implies v=-\frac 1p e^{-pt}\\ &\\ &\left[-\frac{e^{-pt}\cos t}{p^2}\right]_0^{\infty}-\frac {1}{p^2}\int_0^{\infty}e^{-pt}sen\,t dt =\\ &\\ &\frac{1}{p^2}- \frac {1}{p^2}L \{sen\,t\}\\ &\\ &\\ &\text{Luego se cumple que}\\ &\\ &L \{sen\,t\}=\frac{1}{p^2}- \frac {1}{p^2}L \{sen\,t\}\\ &\\ &\\ &L \{sen\,t\} = \frac{\frac{1}{p^2}}{1+\frac {1}{p^2}}= \frac{1}{p^2+1}\end{align}$$Vamos con la del coseno
$$\begin{align}&L \{\cos t\}=\int_0^{\infty}e^{-pt}\cos t dt=\\ &\\ &u=\cos t\implies du = -sen\, t dt\\ &dv= e^{-pt}dt\implies v = -\frac{e^{-pt}}{p}\\ &\\ &=\left[-\frac{e^{-pt} \cos t}{p}\right]_0^{\infty}- \frac 1p\int_0^{\infty}e^{-pt}sen\, t dt =\\ &\\ &\\ &\frac 1p -\frac 1p\int_0^{\infty}e^{-pt}sen\,t dt =\\ &\\ &u = sen t\implies du = \cos t dt\\ &dv = e^{-pt}dt\implies v=-\frac{e^{-pt}}{p}\\ &\\ &\frac 1p +\left[\frac{e^{-pt}sen\, t}{p^2}\right]_0^{\infty}-\frac {1}{p^2}\int_0^{\infty}e^{-pt}cost dt =\\ &\\ &\frac{1}{p}+0 - \frac {1}{p^2}L \{\cos t\}\\ &\\ &\\ &\text{Luego se cumple que}\\ &\\ &L \{\cos t\}=\frac{1}{p}- \frac {1}{p^2}L \{\cos t\}\\ &\\ &\\ &L \{\cos t\} = \frac{\frac{1}{p}}{1+\frac {1}{p^2}}= \frac{p}{p^2+1}\end{align}$$Y finalmente la tercera
$$$$
En la primera respuesta me líe y puse s en vez de p, es que las dos letras suelen emplearse como variables en la transformada.
Y eso es todo.
cual es la tranformada de f(t)=2t