Problema de cálculo integral que implica usar sustitución trigonométrica.

Si dicen que hay que usar trigonométrica se usa, pero sería mejor el cambio

t=x^2+4

En este tipo de integral el método trigonométrico se basa en que

1 + tg^2(x) = sec^2(x)

con lo cual

sqrt[1+tg^2(x)] = sec(x)

y nos libramos de la raíz cuadrada.

Aparte de eso hay que hacer algún pequeño ajuste, si lo de dentro de la raíz es

x^2 + a^2

el cambio a hacer es

x=a·tgz

Veámoslo:

$$\begin{align}&\int \frac{x}{(x^2+4)^\frac{5}{2}}dx=\\ & \\ & x=2tgz\\ & dx=2sec^2z\;dz\\ & \\ & \int \frac{2tgz·2sec^2z}{(4tg^2z+4)^{\frac 52}}dx=\\ & \\ & 4\int \frac{tgz·sec^2z}{4^{\frac 52}(tg^2z+1)^{\frac 52}}dz\\ & \\ & \frac {4}{2^5}\int \frac{tgz·sec^2z}{(sec^2z)^{\frac 52}}dz=\\ & \\ & \frac 1{8}\int \frac{tgz·sec^2z}{sec^5z}dz=\frac 1{8}\int \frac{secz·tgz}{sec^4z}dz=\\ & \\ & t=secz\\ & dt=secz·tgz\\ & \\ & \frac 1{8}\int \frac{dt}{t^4}= -\frac 1{8}· \frac {t^{-3}}{3}+C=\\ & \\ & -\frac{1}{24 sec^3 z}+C=\\ & \\ & \text {Hay que deducir cuánto vale secz}\\ & \\ & Si\; 2tgz= x\\ & \\ & tgz=\frac x2\\ & \\ & secz = \sqrt{1+tg^2z}= \sqrt{1+\left(\frac x2  \right)^2}=\frac{\sqrt{4+x^2}}{2}\\ & \\ & \text{luego la integral es}\\ & \\ & =-\frac{1}{24·\left( \frac{\sqrt{4+x^2}}{2} \right)^3}+C=\\ & \\ & -\frac{8}{24(4+x^2)^{\frac 32}}+C =\\ & \\ & -\frac{1}{3(4+x^2)^{\frac 32}}+C\end{align}$$

Y eso es todo, como te decía con el cambio t=x^2+4 era casi inmediata, si no te obligaban a hacer cambio trigonométrico hazla de esa forma.