Demostrar que lim f(x)=L cuando x-> x0
Suponer que lim f(x)=L cuando x->x0 demostrar que existen delta>0 y M>0 tales que If(x)I<M se x pertenence a (x0-delta, x0+delta)
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Tomemos un epsilon cualquiera. Por la definición de límite existirá un delta >0 tal que si x pertenece a (xo-delta, xo+delta) se cumplirá |f(x) - L| < epsilon
Ahora demostraremos algo que al lo mejor ya tenéis demostrado pero por si acaso.
|a| = |a - b + b | <= |a-b| + |b|
pasando |b| a la izquierda
|a| - |b| <= |a-b|
eso quería demostrar, aplicandólo a lo que habiamos dejado arriba tendremos
|f(x)| - |L| <= |f(x)-L| < epsilon
|f(x) < |L| + epsilon
llamemos
M = |L| + epsilon
y tomando el delta correspondiente a ese epsilon se cumple
|f(x)| < M
Para todos los x € (xo-delta, xo+delta)
