Calculo de bolas en topología
¿Cómo calculo las bolas con radio epsilon <=1 y x positivo siendo la distancia |E(x)-E(y)|? E es la parte entera
1 Respuesta
Pep Pep!
¿Y cuál es el conjunto del espacio topológico?
Porque por ejemplo, si es R+ (los reales positivos) la distancia esa está mal definida ya que una de las condiciones que debe cumplr una distancia es
d(x,y)=0 si y solo si x=y
y aquí tendríamos
d(1.1, 1.2) = |E(1.1) - E(1.2)| = |1-1| = 0
Siendo 1.1 distinto de 1.2, luego esa función no es una distancia.
Si el espacio topológico fuese tal que solo hubiese un elemento en cada intervalo
[n, n+1) con n=0,1,2,....
Entonces si serviría esa función como una distancia y las bolas de x con radio épsilon<=1, al ser bolas abiertas no admitirían elementos situados a distancia 1, y entonces el único elemento de la bola sería x.
Luego habría que revisar el enunciado completo ya que es necesario que nos digan el conjunto del espacio topológico. Y según cual sea aplicas lo que te he dicho o me lo dices para solucionarlo.
No me expresé bien. Estamos en R+ y no se trata de distancia, sino de seudodistancia. Gracias por la pronta respuesta.
Bien, entonces una bola de radio epsilon de un punto x será el conjunto de todos los puntos situados a pseudo distancia menor que epsilon.
B(x, épsilon) = {y€R+ | |E(x)-E(y)|<épsilon}
Esta pseudo distancia solo toma valores enteros no negativos 0,1,2, ...
Si el radio epsilon es <=1 entonces la pseudo distancia debe ser <1
Luego la bola de x serán los elementos situados a pseudo distancia 0, es decir, los elementos que tienen la misma parte entera. Es un intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha de longitud 1.
B(x, épsilon <=1) = [E(x), E(x)+1)
Ejemplos
B(1.7, 0.5) = [1, 2)
B(10, 1) = [10, 11)
Y eso es todo.
